第2章 第12节 利用导数研究函数的极值、最值-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第12节　利用导数研究函数的极值、最值 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.借助函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次) . 3．体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系 1.利用导数研究函数的极值，达成数学抽象和数学运算素养． 2．利用导数研究函数的最值，提升逻辑推理和数学运算素养． 3．利用导数研究生活中的优化问题，发展数学建模和数学运算素养 　　函数的极值与最值是高考的热点内容，对极值的考查主要有2个命题角度：①判断极值的情况，②已知函数求极值．考查函数最值时必定涉及函数的单调性，还会涉及到方程和不等式．题型有大题也有小题且有一定难度．另外已知函数的极值(最值)情况求参数的取值范围也是考查的热点内容，涉及函数的单调性时，往往需要进行分类讨论，这类题综合性强，难度较大 [必备知识] 1．函数极值的概念 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x都有 (1)f(x)＜f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值； (2)f(x)＞f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值．极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值． 2．可导函数的极值与导数之间的关系 一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0. (1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)＞0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)＜0，那么此时x0是f(x)的极大值点． (2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)＜0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)＞0，那么此时x0是f(x)的极小值点． (3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点． 3．函数的最值 (1)一般地，如果函数y＝f(x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极值点；如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)在(a，b)内可导且存在最值，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点． (2)求函数f(x)在[a，b]上最值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的　极值　. ②将函数y＝f(x)的　各极值　与端点处的　函数值f(a)，f(b)　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在[a，b]上的最值． 4．利用导数求解实际问题中的优化问题 生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题．导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案． 利用导数解决实际应用问题一般有如下几类： (1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可． (2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质． (3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质． 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像连续不断，则f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． 3．若函数f(x)在闭区间[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 4．若函数f(x)在开区间(a，b)上的图像连续不断，且有唯一的极值点，则这个极值点就是函数的最值点． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(　　 ) (2)函数的极大值不一定比极小值大．(　　 ) (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　 ) (4)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　 ) (5)开区间上的单调连续函数无极值和最值．(　　 ) (6)函数f(x)＝在区间[－1,1]上有最值．(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)× ◆[小题查验] 1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　 ) A．x＝1　　　　　　 B．x＝－1 C．x＝1或－1或0 D．x＝0 解析：C　[∵f(x)＝x4－2x2＋3， ∵由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝0或x＝1或x＝－1. 又当x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当