第2章 第10节 导数的概念与计算-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第10节　导数的概念与计算 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.通过实例分析，经历由平均变化率过度到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想． 2．通过函数图像直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数 1.导数的概念，发展逻辑推理和数学运算素养． 2．导数的计算，提升逻辑推理和数学运算素养． 3．导数的几何意义及应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　导数的运算、导数的几何意义是高考命题的热点，导数的运算一般不单独命题，常融合在与导数有关的其他题目中；而导数的几何意义是一个高频考点，常与函数、解析几何放在一起综合考查，有时还作为解答题的一部分呈现． 本节内容主要以选择题、填空题或解答题中第一问的形式出现，属于中低档题 [必备知识] 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义：一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率　＝ . 无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．此时，也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)＝k. (2)几何意义：f′(x)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处(也称在x＝x0处)的　切线的斜率　.相应地，切线方程为　y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)　. 2．函数y＝f(x)的导函数 一般地，如果函数y＝f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导，此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数． 记作f′(x)(或y′，y′x)，即f′(x)＝y′＝y′x＝，导函数通常也简称为导数． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝　0　 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝　αxα－1　 f(x)＝sin x f′(x)＝　cos_x　 f(x)＝cos x f′(x)＝　－sin_x　 f(x)＝ex f′(x)＝　ex　 f(x)＝ax(a＞0) f′(x)＝　axln_a　 f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax (a＞0，a≠1) f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若如果f(x)，g(x)都可导．则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝　f′(x)±g′(x)　； (2)[f(x)·g(x)]′＝　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　； (3)′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 (1)复合函数的概念 一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值，如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量． (2)复合函数的导数 一般地，如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则复合函数的导数h′(x)`与f′(u)，g′(x)之间的关系为h′(x)＝ [f(g(x))]′`＝f′(u)g′(x)＝f′(g(x))g′(x)． 这一结论也可以表示为y′x＝　y′uu′x　. 1．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同． 2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0. 3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1) y′＝f′(x)在点x＝x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．(　　 ) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　 ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　 ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　 ) (5)若f(x)＝f′(a)x2＋ln x(a>0)，则f′(x)＝2xf′(a)＋.(