第2章 第8节 函数与方程、不等式之间的关系-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第8节　函数与方程、不等式之间的关系 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2．根据具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性 1.判断函数零点的个数，发展直观想象素养． 2．确定函数零点所在的区间，达成直观想象和逻辑推理素养． 3．函数零点的应用，提升直观想象和逻辑推理素养 　　由零点存在性定理判断零点是否存在和零点所在的区间，求方程的根，函数的零点个数，基本初等函数的图像是高考的热点．以函数的零点，方程的根及函数图像的交点之间的等价转化为桥梁，考查转化与化归思想，考查函数与方程思想，数形结合等思想．本部分内容在高考中以选择题或填空题形式考查的居多，在解答题中也有所体现，难度较大 [必备知识] 1．函数的零点 (1)零点的定义 一般地，如果函数y＝f(x)在实数a处的函数值等于零，即f(a)＝0，则称a为函数y＝f(x)的零点． (2)方程的根与函数零点的关系 2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 　{x|x1<x<x2}　 　∅ 　∅　 3.函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0. 1．若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)一定有零点． 2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示： 所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 3．若函数f(x)在(a，b)上单调，且f(x)的图像是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．(　　) (2) 函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　 ) (3) 函数y＝2sin x－1的零点有无数多个．(　　 ) (4) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　 ) (5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　 ) 解析：C　[A，B图中零点两侧不异号，D图不连续．故选C.] 2．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　 ) A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 解析：B　[由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．] 3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)＝0.200 f(1.587 5)＝0.133 f(1.575 0)＝0.067 f(1.562 5)＝0.003 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.550 0)＝－0.060 据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(保留三位有效数字)为　________　. 解析：由题意知，函数零点在区间(1.556 2,1.562 5)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56. 答案：1.56 4．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x.若在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　________　. 解析：由f(x＋2)＝f(x)知函数f(x)是