第2章 第6节 指数函数、对数函数的关系与幂函数-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第6节　指数函数、对数函数的关系与幂函数 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式． 2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图像，掌握它们的性质． 3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小． 4．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们图像之间的对称关系． 5．利用指数、对数函数的图像与性质解决一些简单问题 1.幂函数的图像与性质，提升数学抽象和直观想象的核心素养． 2．了解反函数的概念，达成数学抽象的核心素养． 3．利用指数、对数函数的图像与性质解决简单问题可提高直观想象，逻辑推理的核心素养 　　幂函数，反函数，指数函数与对数函数的关系是高考的常考内容，高考一般不单独命题，通常与其它知识相结合命题，属于低中档题，考查函数与方程及数形结合的数学思想 [必备知识] 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如　y＝xα　的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图像 (3)常见的5种幂函数的性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R 　[0，＋∞)　 {x|x≠0} 值域 R 　[0，＋∞)　 R [0，＋∞) 　{y|y≠0}　 奇偶性 　奇　 偶 　奇　 非奇非偶 奇 单调性 在R上单调递增 　在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增　 　在R上单调递增　 　在[0，＋∞)上单调递增　 　在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减　 公共点 　(1,1)　 2.反函数的概念 (1)一般地，如果在函数 y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的　反函数　. (2)一般地，函数y＝f(x)的反函数记作　y＝f－1(x)　. y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的　值域　相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的　定义域　相同， y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线　y＝x　对称． (3)如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数一定　存在　.如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是　增函数　；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f－1(x)也是　减函数　. 1．有关幂函数的几个结论 对于形如f(x)＝x(其中m∈N＋，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图像关于y轴对称； (2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图像关于原点对称； (3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图像只在第一象限(或第一象限及原点处)． 2．指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝2x是幂函数．(　　) (2)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) (3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　) (4)函数y＝x的反函数是y＝logx.(　　) (5)函数y＝log3x的反函数的值域为R.(　　) (6)函数y＝ex的图像与y＝lg x的图像关于直线y＝x对称．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× ◆[小题查验] 1．(2023·济南市诊断)已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α＝(　　 ) A.　　 B．1　　　 C.　　 D．2 解析：C　[由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.] 2．下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是(　　 ) A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1 D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1 解析：B　[图像①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D.图像②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B.] 3．若函数f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B. C．logx D．2x－2 解析：A　[y＝ax的反函数f(x)＝logax，则1＝loga2，所以a＝2.所以f(x)＝log2x.] 4．已知y＝x的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝－，则x0＝ (　　) A．－2 B．－1 C．2 D. 解析：C　[y＝x的反函数是f