第2章 第5节 对数与对数函数-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第5节　对数与对数函数 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点 1.对数的基本运算，发展数学运算素养． 2．对数函数的图像及应用，提升直观想象和数学运算素养． 3．对数函数的性质及应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　对数及对数的运算性质，以对数函数为载体的对数型函数的图像和性质，考查函数值的大小比较及单调性的应用，尤其是有关对数函数的复合函数是高考热点．主要以选择题、填空题形式出现，属于中低档题 　　　　　 [必备知识] 1．对数的概念 (1)在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数． (2)当a>0且a≠1时，b＝logaN的充要条件是ab＝N，由此可知，只有N>0时，logaN才有意义，这通常简称为负数和零没有对数． 2．常用对数和自然对数 (1)以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，通常把底10略去不写，并把“log ”写成“lg ”，即把log10N简写为lg N. (2)以无理数e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，自然对数logeN通常简写为lnN. 3．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①loga1＝　0　；②logaa＝　1　；③alogaN＝　N　；④logaab＝　b　(a>0，且a≠1)． (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M >0，N>0，那么 ①loga(MN)＝　logaM＋logaN　； ②loga＝　logaM－logaN　； ③logaMn＝　nlogaM　(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：　logbN＝　(a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝　logad　. 4．对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)称为对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的图像与性质 底数 a>1 0<a<1 图像 性质 定义域：　(0，＋∞)　 值域：　R　 当x＝1时，y＝0，即过定点　(1,0)　 当x>1时，　y>0　； 当0<x<1时，　y<0　 当x>1时，y<0　； 当0<x<1时，　y>0　 在(0，＋∞)上是　增函数　 在(0，＋∞)上是　减函数　 　对数函数的图像与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　 ) (2)log2x2＝2log2x.(　　 ) (3)当x>1时，logax>0.(　　 ) (4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图像只在第一、四象限．(　　 ) (5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．(2022·浙江卷，7)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25　　 B．5　　　 C.　　　 D. 解析：C　[将log83＝b转化为指数，得到8b＝3.再结合指数的运算性质，8b＝(23)b＝23b＝3，因此2a－3b＝＝，所以4a－3b＝，故本题选C.] 2．(2023·凯里市模拟)已知a，b，c均为正实数，若2a＝log2a－1,2－b＝logb，c＝log2c，则(　　) A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c 解析：C　[2a＝loga，b＝logb，c＝log2c， 利用函数y＝2x，y＝logx，y＝x，y＝log2x，如图所示，由图像可得a＜b＜c，故选C.] 3．设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 解析：D　[函数f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－l