第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第3节　函数的奇偶性与周期性 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义． 2．会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性． 3．结合三角函数，了解函数周期性的概念和几何意义． 4．会运用函数的图像理解和研究函数的周期性 1.判断函数的奇偶性，发展数学抽象和逻辑推理素养． 2．函数奇偶性的应用，发展逻辑推理和数学运算素养． 3．函数周期性的应用，发展数学抽象和逻辑推理素养． 4．函数基本性质的综合应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　函数的奇偶性、周期性的应用是高考的热点，常与函数的求值、图像、单调性、对称性、零点等知识交汇命题，函数的周期性也经常会涉及到三角函数或抽象函数，并且考查力度逐年加大．本讲内容在高考中多以选择题或填空题的形式出现，难度不会太大，属于低中档题，主要考查考生对函数性质的理解及应用能力 [必备知识] 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图像特点 偶函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数 关于　y轴　对称 奇函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)是奇函数 关于　原点　对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有　f(x＋T)＝f(x)　，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中　存在一个最小　的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的　最小　正周期． 1．函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (4)奇、偶函数的性质：在公共定义域内，奇函数·奇函数＝偶函数，奇函数＋奇函数＝奇函数，偶函数·偶函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数·偶函数＝奇函数． 2．函数周期性的三个常用结论 对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有：(如下a>0)： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a. 3．函数对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称； (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称； (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　 ) (2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．(　　 ) (3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　 ) (4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　 ) (5)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(　　 ) (6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 020)＝0.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　 ) A．－　　　 B.　　　 C.　　 D．－ 解析：B　[依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝，则a＋b＝.] 2．设函数f(x)＝x3－，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减 解析：A　[因为f(x)＝x3－，所以f(x)＋f(－x)＝x3－＋(－x)3－3＝0， 所以函数f(x)是奇函数． 又因为f(x)＝x3－，由函数y1＝x3(为(0，＋∞)增函数)加上函数y2＝－(为(0，＋∞)增函数)得到，所以函数f(x)＝x3－为(0，＋∞)增函数，故选A.] 3．(2023·葫芦岛市一模)设偶函数f(x)对