第2章 第2节 函数的单调性-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第2节　函数的单调性 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 2．会运用基本初等函数的图像分析函数的性质 1.函数的单调性的判断或证明，发展数学抽象和逻辑推理素养． 2．确定函数的单调区间，提升直观想象和逻辑推理素养． 3．确定函数的最值(值域)，发展直观想象和数学运算素养． 4．函数单调性的应用，发展逻辑推理和数学运算素养 　　确定函数的单调性、单调区间及应用函数的单调性比较函数值大小、求最值、求参数的取值(范围)是高考的热点，题型多以选择题、填空题的形式出现，难度不大，属于低中档题，常与函数的图像及奇偶性交汇命题；若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现，难度较大，属于中高档题．在解答题中常与恒成立、方程有解等问题综合考查 　　　 [必备知识] 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D： (1)如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有　f(x1)＜f(x2)　，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上　单调递增　)，如图(1)所示； (2)如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有　f(x1)＞f(x2)　，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上　单调递减　)，如图(2)所示． 两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的　单调区间　，也可分别称为　单调递增区间　或　单调递减区间　)． 2．函数的平均变化率 (1)直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在． 直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度． 若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，则当Δx≠0时，斜率可记为. (2)平均变化率 一般地，当x1≠x2时，称＝ 为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率． 3．y＝f(x)在I上是增函数(减函数)的充要条件 一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2， 记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝(即＝)，则： (1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是>0在I上恒成立； (2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是<0在I上恒成立． 4．函数的最大值和最小值 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D： (1)如果对任意x∈D，都有　f(x)≤f(x0)　，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的　最大值点　； (2)如果对任意x∈D，都有　f(x)≥f(x0)　，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的　最小值点　. 5．最值和最值点 　最大　值和　最小　值统称为最值，　最大值　点和　最小值　点统称为最值点． 1．设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则①x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)>0(或<0)⇔f(x)在D上单调递增；x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)<0(或>0)⇔f(x)在D上单调递减； ②>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增； ③<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)；减区间为[－，0)和(0， ]，且对勾函数为奇函数． 3．单调函数的运算性质 (1)在函数f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： ①若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是增(减)函数； ②若f(x)是增(减)函数，g(x)是减(增)函数，则f(x)－g(x)是增(减)函数； (2)若函数f(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①当a>0时，函数af(x)与f(x)有相同的单调性，当a<0时，函数af(x)与f(x)有相反的单调性； ②当函数f(x)恒为正(或恒为负)时，f(x)与有相反的单调性； ③若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性． 4．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的单调增区