第1章 第7节 均值不等式及其应用-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第7节　均值不等式及其应用 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.掌握基本不等式≤(a，b≥0)． 2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 1.利用基本不等式求最值，达成逻辑推理和数学运算素养． 2．均值不等式的实际应用，发展数学建模和数学运算素养． 3．基本不等式的综合应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　利用基本不等式求函数的最值，不等式的变形，构造基本不等式的形式，不等式的证明及利用不等式解决实际问题等是高考的热点，各种题型均有可能出现，难度中等，属于低中档题 　　　　　　 [必备知识] 1．算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数　　称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值． 2．均值不等式 如果a，b都是正数，那么　≥　，当且仅当a＝b时，等号成立． 3．均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最　大　值. (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最　小　值2. 即：两个正数的积为常数时，它们的和有　最小　值； 两个正数的和为常数时，它们的积有　最大　值． 　几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　 ) (2)ab≤2成立的条件是ab＞0.(　　 ) (3)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　 ) (4)若a＞0，则a3＋的最小值是2.(　　 ) (5)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．设a>b>0，下列不等式不正确的是(　　 ) A．ab<　　　　　　 B．ab<2 C.> D. > 解析：C　[由a2＋b2≥2ab，a＋b≥2及a>b>0知，>ab，ab<2，选项A、B正确.<＝，选项D正确．故选C.] 2．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　 ) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 解析：C　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，故选C.] 3．若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为(　　) A．9 B．18 C．36 D．81 解析：A　[因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选A.] 4．(2022·全国甲卷，16)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝　________　. 解析：令BD＝t，以D为坐标原点，DC为x轴建立直角坐标系(图略)，则C(2t,0)，A(1，)，B(－t,0)． ＝＝4－≥4－2. 当且仅当t＋1＝，即BD＝－1时取等号，即取得最小值． 答案：－1 5．一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为　________　 m，宽为　________　 m时菜园面积最大． 解析：设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤2＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号． 答案：15　 　　　　　　 　利用基本不等式求最值(重难点) [命题角度1]　通过配凑法利用基本不等式　 [典例1]　(1)(2023·泉州检测)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. [解析]　B　[因为0<x<1，所以x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立．] (2)函数y＝(x>1)的最小值为　________　. [解析]　y＝＝ ＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立． [答案]　2＋2 　　 通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． [命题角度2]　通过常数代换法利用基本不等式　 [典例2]　若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　) A．8　　 B．6　　 C．4　　 D．