第1章 第6节 一元二次不等式的解法-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第6节　一元二次不等式的解法 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 1.一元二次不等式的解法，达成直观想象和数学运算素养． 2．与一元二次不等式有关的恒成立问题，提升直观想象和数学运算素养． 3．一元二次不等式的实际应用，增强数学建模和数学运算素养 　　一元二次不等式、分式不等式的解法，及一元二次不等式的恒成立问题是高考的热点，常常与集合运算、函数定义域求解、用导数求单调区间等问题结合考查．题型多样，选择题或填空题考查解法及恒成立问题，难度不大，属于低中档题，解答题与导数结合，考查函数的单调性，难度中等及以上，属于中高档题 　　　　　　 [必备知识] 1．一元二次不等式的概念 一般地，形如　ax2＋bx＋c>0　的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c为常数，而且a≠0. 2．用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是　(x1，x2)　，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是　(－∞，x1)∪(x2，＋∞)　. 3．用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为　(x－h)2>k　或　(x－h)2<k　的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集． 　 简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系 1.＞0等价于(x－a)(x－b)＞0. 2.＜0等价于(x－a)(x－b)＜0. 3.≥0等价于 4.≤0等价于 [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　 ) (2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　 ) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　 ) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　 ) (5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ [小题查验] 1．函数f(x)＝的定义域是(　　 ) A．(－∞，1)∪(3，＋∞)　　 B．(1,3) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 解析：D　[由题意知即 故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．] 2．不等式≤0的解集是(　　 ) A．(－∞，－1)∪(－1,2] B．[－1,2] C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．(－1,2] 解析：D　[≤0⇔(x＋1)(x－2)≤0，且x≠－1，即x∈(－1,2]，故选D.] 3．若不等式ax2＋bx－2<0的解集为，则ab等于(　　 ) A．－28 B．－26 C．28 D．26 解析：C　[由已知得， ∴a＝4，b＝7，∴ab＝28.] 4．不等式(x＋3)(1－x)≥0的解集为　________　. 解析：(x＋3)(1－x)≥0⇔(x＋3)(x－1)≤0，解得－3≤x≤1，所以不等式的解集为{x|－3≤x≤1}． 答案：{x|－3≤x≤1} 5．已知不等式x2－2x＋k2－1>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为　________　. 解析：由题意，知Δ＝4－4×1×(k2－1)<0， 即k2>2，∴k>或k<－. 答案：(－∞，－)∪(，＋∞) 　　　　　 　一元二次不等式的解法 [命题角度1]　不含参数的一元二次不等式的解法(基础点)　 解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0； (2)0＜x2－x－2≤4. 解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集为. (2)原不等式等价于⇔ ⇔⇔ 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为. 解一元二次不等式的4个步骤 [口诀助解] 求解不含参数的一元二次不等式口诀 函数方程不等式，图像交点是标志； 首项系数先化正，判别式，符号定； 若为正，记口诀，小于中间大于侧； 或为负，或为零，配方观察解自明． [命题角度2]　含参数的一元二次不等式(应用点)　 [典例]　解不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. [解]　原不等式可化为(x－1)(ax－1)<0， ∴①当