第1章 第3节 等式与方程(组)的解集-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第3节　 等式与方程(组)的解集 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.掌握等式的性质及常用的恒等式． 2．从函数观点看一元二次方程，会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． 3．会用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组，能灵活解二元二次方程组 1.等式的性质及常用的恒等式，可达成逻辑推理和数学运算的核心素养． 2．一元二次方程的解集及其根与系数的关系，可提升直观想象的核心素养． 3．解二元二次方程组，培养数学运算的核心素养 　　等式的性质及常用的恒等式，一元二次方程的解集及其根与系数的关系，解二元二次方程组，这三部分内容作为学习其他知识的基础和工具，高考一般不单独命题，通常与解不等式，函数，数列，解析几何等知识相结合，考查数学运算及数形结合思想 　　　　　 [必备知识] 1．等式的性质 (1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立， 用公式表示为：如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c； (2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 用公式表示为：如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc. 2．恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 3．方程的解集 方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 4．b2－4ac(Δ)的取值与根的个数间的关系 b2－4ac(Δ) 根的情况 b2－4ac>0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有　两个不相等　的实数根，即x1＝ ，x2＝ b2－4ac＝0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有　两个相等的实数根　，即x1＝x2＝－ b2－4ac＜0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)　无实数根　 5.一元二次方程根与系数的关系 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 6．方程组的解集 方程组中，由两个方程的解集　得到的交集　称为这个方程组的解集． 解方程组常用的方法：(1)加减消元，(2)代入消元． 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． 1．常用的恒等式： (1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)(平方差公式)； (2)(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2(两数和的平方公式)； (3)(a＋b)c＝ac＋bc； (4)t3＋1＝(t＋1)(t2－t＋1)． 2．应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： (1)x＋x＝(x＋2x1x2＋x)－2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2； (2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； (3)|x1－x2|＝＝； (4)＋＝； (5)＋＝＝. [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1) 一元二次方程的解集中一定有两个元素．(　　) (2)t3－1＝(t－1)(t2＋t＋1)． (3)a2＋8ab－33b2＝(a＋3b)(a－11b)．(　　) (4)方程组的解集为{－1,2}．(　　) (5)关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0有两个不相等的实数根．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．若4x2－3(a－2)x＋25是完全平方式，则a的值为(　　) A．－　　　　　　　　 B. C．－或 D．不存在 解析：C　[因为4x2－3(a－2)x＋25＝(2x)2－3(a－2)x＋(±5)2＝(2x±5)2， 即4x2－3(a－2)x＋25＝(2x＋5)2或4x2－3(a－2)x＋25＝(2x－5)2. 所以－3(a－2)＝20或－3(a－2)＝－20.解得a＝－或a＝.] 2．若代数式x2－6x＋5的值是12，则x的值为(　　) A．7或－1 B．1或－5 C．－1或－5 D．不能确定 解析：A　[由题意得x2－6x＋5＝12，x2－6x＋5－12＝0，x2－6x－7＝0，∴x＝， 解得x1＝－1，x2＝7.故选A.] 3．方程组的解集是(　　) A．(±1，±1) B．{(±1，±1)} C．{(－1，－1)，(1,1)} D．(－1，－1)，(1,1) 解析：C　[把①代入②得2x2 ＝2，∴x2＝1，∴x＝1，y＝1或x＝－1，y＝－1.] 4．已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则＋＝　________　. 解析：因为x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，