第1章 第2节 命题与量词、充分条件与必要条件-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第2节　命题与量词、充分条件与必要条件 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义． 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 1..全称命题、特称命题的真假判断，达成直观想象和逻辑推理的素养． 2．含有一个量词的命题的否定，形成和发展数学抽象的素养． 3．充分、必要条件的判断与应用，提升数学抽象和逻辑推理的素养 　　全称命题、特称命题的真假判断以及对含有一个量词的命题进行否定及充分、必要条件的判断是高考的热点，题型多以选择题或填空题的形式出现，一般难度不会太大，属中低档题型，常和函数、不等式及立体几何中直线、平面的位置关系等有关知识相结合，考查考生的逻辑推理等能力 [必备知识] 1．命题的概念 可供真假判断的陈述语句就是命题．其中判断为真的语句称为　真命题　，判断为假的语句称为　假命题　. 2．充分条件、必要条件与充要条件的概念 p是q的　充分条件　，q是p的　必要条件　 p⇒q p是q的　充分不必要　条件 p⇒q且q⇒/ p p是q的　必要不充分　条件 p⇒/ q且q⇒p p是q的　充要　条件 p⇔q p是q的　既不充分也不必要　条件 p⇒/ q且q⇒/ p 3.全称量词和存在量词 (1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体．用符合“∀”表示． (2)存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分． 4．全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量词命题 “对集合M中所有元素x，r(x)” 　∀x∈M，r(x)　 　∃x∈M，綈p(x)　 存在量词命题 “存在集合M中所有元素x，s(x)” 　∃x0∈M，s(x0)　 　∀x∈M，綈p(x)　 　若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)命题綈p的否定是p.(　　 ) (2)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．(　　) (3)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.(　　) (4)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相同．(　　 ) (5)“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．(　　 ) (6)“对顶角相等”是全称量词命题．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．(2023·西安模拟)命题“∀x＞0，＞0”的否定是(　　) A．∃x0＜0，≤0　　 B．∃x0＞0,0≤x0≤1 C．∀x＞0，≤0 D．∀x＜0,0≤x≤1 解析：B　[因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x0＞0,0≤x0≤1，故选B.] 2．(2023·金考卷押题)已知命题p：∃x0∈R，ex0<x，则綈p为(　　) A．∃x0∈R，ex0≥x B．∀x∈R，ex<x2 C．∀x∈R，ex≥x2 D．∀x∈R，ex>x2 解析：C　[命题p是一个特称命题，故其否定是一个全称命题．綈p为∀x∈R，ex≥x2，故选C.] 3．(2022·浙江卷，4)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[若sin x＝1，则x＝＋2kπ，k∈Z，cos x＝0；若cos x＝0，则x＝＋kπ，k∈Z，sin x＝1或sin x＝－1.若sin x＝1可推出cos x＝0，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故为充分不必要条件，故选A.] 4．已知x∈R，则“x＜－1”是“x2＞1”的　________　条件． 解析：解不等式x2＞1，可得x<－1或x>1，所以x<－1是x2>1的充分不必要条件． 答案：充分不必要 5．下列命题： ①若ac2>bc2，则a>b； ②若sin α＝sin β，则α＝β； ③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件； ④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数． 其中正确命题的序号是　________　. 解析：对于①，∵ac2>bc2，∴c2>0，∴a>b正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒ / 30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1， 即－2a＝－4a