江西省赣州市南康区唐江中学2022-2023学年高一下学期4月期中考试数学试题

唐江中学2022—2023学年度下学期期中考试 高一数学试卷 命题人： 审题人： 备课组长： 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知是虚数单位，复数的虚部为 A． B． C． D． 2．在，的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图，一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为，则这个圆锥的体积为 A． B． C． D． 4．在三角形中，是角所对的边，满足,则的大小是（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 5．如图，在等腰梯形中，，，，，为线段上的动点(包括端点)，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．20 D．30 6．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 7．在中，角、、所对的边分别是、、.已知，，且满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题（每题5分，共20分） 9．已知，则下列结论正确的有（    ） A． B．与方向相同的单位向量是 C． D．与平行 10．已知复数，下列命题错误的有（    ） A．若，则 B．若，那么 C．若，那么 D．若，那么 11．圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（    ） A． B． C． D． 12．在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，且，则△为等边三角形 三、填空题（共20分） 13．在△ABC中，A，AB＝4，AC＝2，点D在BC边上，AD＝BD，则AD＝_____． 14．窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓是边长为米的正方形，内嵌一个小正方形，且，，，分别是，，，的中点，则的值为________. 15．已知一正四棱柱(底面为正方形的直四棱柱)内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为_________． 16．如图，在中，已知，，，直线过的重心，且与边、分别交于、两点，则的最小值为________． 四、解答题（共70分） 17．已知向量. （1）若与共线，求实数的值； （2）若与垂直，求与的夹角. 18．已知复数(其中是虚数单位，)． （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）若函数与的图象有公共点，求实数的取值范围． 19．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，PA是圆柱的母线，，，，C是上的一个动点. (1)求圆柱的表面积； (2)求四棱锥的体积的最大值. 20．在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若. （1）求角的大小； （2）若，求面积的取值范围. 21．已知，，设，． （1）若，求实数的值； （2）当时，求与的夹角； （3）是否存在实数，使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 22．正方形ABCD中，，点O为正方形内一个动点，且，设 (1)当时，求的值； (2)若P为平面ABCD外一点，满足，记，求的取值范围. 1．B 【详解】因为 ，所以复数的虚部为 ，故选B. 2．C 【详解】本题考查向量的数量积 由数量积的定义有 由得 即即 所以故，所以，即 即是的充分条件； 若，则，所以于是 所以 即是必要条件 故是的充要条件 故正确答案为C 3．C 【分析】先利用侧面积求解底面圆的周长，进而解出底面面积，再求体高，最后解得体积 【详解】圆锥的展开图为扇形，半径，侧面积为为扇形的面积，所以扇形的面积，解得 ，所以弧长，所以底面周长为，由此可知底面半径，所以底面面积为，体高为，故圆锥的体积，故选C． 【点睛】本题已知展开图的面积，母线长求体积，是圆锥问题的常见考查方式，解题的关键是抓住底面圆的周长为展开图的弧长． 4．D 【分析】根据余弦定理直接计算得到答案. 【详解】根据余弦定理：，即，即. 故选： 【点睛】本题考查了余弦定理求角度，属于简单题. 5．C 【分析】设，利用，结合向量的数量积的运算，即可求解. 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 因为在等腰梯形中，， 可得， 设， 可得 ， 由二次函数的图象与性质，可得当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 6．C 【分析】连接AO，因为O为BC中点，可由平行四边形法则得，再将其用，表示.由M、O、N三点共线可知，其表达式中的系数和，即可求出的值. 【详解】连接AO，由O为BC中点可得， ， 、、三点共线， ， . 故选：C. 【