第7章 核心素养系列(五) 圆锥曲线与方程高考压轴大题的突破求解策略-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

核心素养系列(五) 圆锥曲线与方程高考压轴大题的突破求解策略 1．已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切． (1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径． (2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由． 解：(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上，由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)． 因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|. 由已知得|AO|＝2，又⊥，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4. 故⊙M的半径r＝2或r＝6. (2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值， 理由如下： 设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|， |AO|＝2， 由于⊥，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x， 因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1. 因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P. 2．(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)． (1)求C的方程； (2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 解：(1)因为e2＝1－＝，所以a2＝2b2， 又＋＝1，所以a2＝6，b2＝3， 故C的方程为＋＝1. (2)①若直线MN斜率不存在，设方程为x＝x0，则M(x0，y0)，N(x0，－y0)， 因为⊥，所以(x0－2，y0－1)·(x0－2，－y0－1)＝0，即(x0－2)2＋(1－y)＝0， 又y＝3－，所以x0＝，或x0＝2(舍)，此时直线方程为x＝. ②若直线MN斜率存在，设方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由消去y得，(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0， 所以Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)＝48k2－8m2＋24>0，解得6k2－m2＋3>0， 且x1＋x2＝，x1x2＝， 所以＝(x1－2，y1－1)，＝(x2－2，y2－1)， ·＝0⇒(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0， 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝， y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝， 所以3m2＋8km－2m＋4k2－1＝0，即(3m＋2k＋1)(m＋2k－1)＝0， 所以m＝－k－或m＝1－2k(此时直线MN过A点，舍去)， 所以直线MN方程为：y＝kx－k－ ＝k－， 即直线MN过定点P； 斜率不存在时，x＝亦过点P. 又因为AD⊥MN，D为垂足，所以△ADP为直角三角形，∠D为直角， 所以当点Q为斜边AP的中点时， |DQ|为定值＝. 综上可知：存在定点Q，使得|DQ|为定值. 3．已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. (1)证明：直线AB过定点； (2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积． 解：(1)证明：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，因为y＝x2，所以y′＝x， 则切线DA为：y－y1＝x1(x－x1)　①， 切线DB为：y－y2＝x2(x－x2)　②， 代入y＝x2得， ①×x2－②×x1得(x2－x1)y＋x1x2(x1－x2)＝0， 因为x1－x2≠0，故消去得交点的纵坐标y＝x1x2， 因为DA和DB的交点D为直线y＝－上的动点，所以有y＝x1x2＝－，x1x2＝－1， 直线AB为＝，点A，B在曲线y＝上，则有＝，整理得y＝(x1＋x2)(x－x1)＋＝－x1x2＋(x1＋x2)x＝＋(x1＋x2)x，即(x1＋x2)x＋＝0.当x＝0，y＝时无论x1，x2取何值时，此等式均成立．因此直线AB过定点，得证． (2)设AB的中点为G，由题得G点坐标为，则＝ ，又＝(x1－x2，y1－y2)．由题意知EG⊥BA，即·＝0，即(x1－x2)＋(y1－y2)＝0.代入y＝x2得(x－x)＋·(x－x)＝0整理得(x1－x2)(x1＋x2)(x＋x－6)＝0. 因x1－x2≠0，故(x1＋x2)(x＋x－6)＝0.所以x1＋x2＝0或x＋x－6＝0. 由第一问中，这里的(x，y)为D点坐标，然而y＝－，故－－x＝x1x－x ，所以x＝，又因为x1x2＝－1.所以x＝＝ ＝(x1＋x2)．即D坐标为. 那么＝(x1－x2，y1－y2)，＝. 设θ为与的夹角，那么有 S四边形ADBE＝||·|