第7章 第9节 第2课时 定点、定值、探索性问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第二课时　定点、定值、探索性问题 1．(2023·宣城市一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆C的方程； (2)设AB是椭圆的一条弦，斜率为k(k≠0)，N(t，0)是x轴上的一点，△ABN的重心为M，若直线MN的斜率存在，记为k′，问：t为何值时，k·k′为定值？ 解：(1)由已知可得：，结合a2＝b2＋c2，解得a＝，b＝， ∴椭圆C的方程为：＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则重心 M， k＝，k′＝＝. 由于AB斜率为k存在且k≠0，故x－x≠0， 则k·k′＝＝ ∵⇒＝⇒＝－. 则要使k·k′＝为定值， 则当且仅当t＝0，即N(0,0)时，k·k′为定值－. 2．(2023·渭南市一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，其焦距为2，点P在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y＝mx＋t(m∈R)，使得·＝0成立？若存在，求出实数t的取值范围，若不存在，请说明理由． 解：(1)由椭圆C的焦距2c＝2，解得c＝1， ∵点P在椭圆C上，∴＋＝1， 解得 ∴椭圆C的标准方程：＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得(3＋4m2)x2＋8tmx＋4t2－12＝0. Δ＝(8tm)2－4(3＋4m2)(4t2－12)＞0， 化简得3＋4m2＞t2. x1＋x2＝，x1x2＝， 假设·＝0成立，所以x1x2＋y1y2＝0， x1x2＋(mx1＋t)(mx2＋t)＝0， (1＋m2)x1x2＋tm(x1＋x2)＋m2＝0， 化简得7t2＝12＋12m2.代入3＋4m2＞t2中得t2>. 有∵7t2＝12＋12m2≥12，∴t2≥，即t≥，或t≤－.∴存在实数t，使得·＝0成立，实数t的取值范围为 ∪. 3．(2023·洛阳市模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形． (1)求C的方程； (2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，试问直线AE是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 解：(1)抛物线的焦点F，设D(t,0)，则FD的中点为.∵|FA|＝|FD|， ∴3＋＝，解得t＝3＋p或t＝－3(舍)． ∵＝3，∴＝3，解得p＝2. ∴抛物线C的方程为y2＝4x. (2)由(1)知F(1,0)，设A(x0，y0)，D(xD,0)， ∵|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，由xD＞0得xD＝x0＋2，即D(x0＋2,0)． ∴直线l的斜率为kAD＝－.∵l1∥l，故直线l1的斜率为－.设直线l1的方程为y＝－x＋b， 联立方程组，消元得：y2＋y－＝0， ∵直线l1与抛物线相切，∴Δ＝＋＝0， ∴b＝－. 设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝， 当y≠4时，kAE＝＝，直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)， ∵y＝4x0，∴直线AE方程为y＝(x－1)． ∴直线AE经过点(1,0)． 当y＝4时，直线AE方程为x＝1，经过点(1,0)． 综上，直线AE过定点F(1,0)． 4．(2023·黄山市一模)已知椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形AF1BF2是边长为2的正方形． (1)求椭圆Γ的方程； (2)若C、D分别是椭圆Γ的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P.证明：·为定值． 解：(1)∵左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形，∴a＝2，b＝c，a2＝b2＋c2，∴b2＝2， ∴椭圆Γ的方程为＋＝1. (2)证明：C(－2,0)，D(2,0)，设M(2，y0)， P(x1，y1)， 则＝(x1，y1)，＝(2，y0)， 直线CM：y－0＝(x＋2)，即y＝x＋y0. 代入椭圆x2＋2y2＝4，得x2＋yx＋y－4＝0，故方程的两个根分别为－2和x1， 由韦达定理可得x1－2＝，∴x1＝， ∴y1＝.∴＝， ∴·＝＋＝＝4(定值)． 5．(2023·张掖市模拟)已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆C与直线2x＋y＝4相切于点P. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：y＝kx＋t与椭圆C相交于A、B两点(A，B不是长轴端点)，且以AB为直径的圆过椭圆C在y轴正半轴上的顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 解：(1)由题意设椭圆的标准方程为＋＝1(m＞0，n＞0且m≠n)． ∵P在椭圆上，∴＋＝1　①. 由，得(n2＋4m2)x2－16m2x＋(16－n2)m2＝0，