第7章 第9节 第1课时 最值、范围、证明问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第9节　圆锥曲线的综合问题 第一课时　最值、范围、证明问题 [基础训练组] 1．(2023·成都市模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，离心率为，点B是椭圆上的动点，△ABF1的面积的最大值为. (1)求椭圆C的方程； (2)设经过点F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线为l′.若直线l′与直线l相交于点P，与直线x＝2相交于点Q，求的最小值． 解：(1)由已知，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则e＝＝，即a2＝2c2. ∵a2＝b2＋c2，∴b＝c. 设B点的纵坐标为y0(y0≠0)． 则S△ABF1＝(a－c)·|y0|≤(a－c)b ＝， 即(b－b)b＝－1.∴b＝1，a＝. ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由题意知直线l的斜率不为0，故设直线l的方程为x＝my－1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(xP，yP)，Q(2，yQ)． 联立，消去x，得(m2＋2)y2－2my－1＝0. 此时Δ＝8(m2＋1)＞0.∴y1＋y2＝， y1y2＝－.由弦长公式，得 |MN|＝|y1－y2| ＝. 整理，得|MN|＝2·. 又yP＝＝， ∴xP＝myP－1＝. ∴|PQ|＝|xP－2| ＝·. ∴|PQ|＝＝· ＝(＋)≥2， 当且仅当＝，即m＝±1时等号成立． ∴当m＝±1，即直线l的斜率为±1时，取得最小值2. 2．(2023·济宁市一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞2)，直线l：y＝kx＋1(k≠0)与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点． (1)若直线l与直线OD(O为坐标原点)的斜率之积为－，求椭圆的方程； (2)在(1)的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有∠AMO＝∠BMO(O为坐标原点)．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由得(4＋a2k2)x2＋2a2kx－3a2＝0， 显然Δ＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴x0＝－，y0＝－＋1＝. ∴k·＝k·＝－.∴a2＝8. 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)假设存在定点M，且设M(0，m)， 由∠AMO＝∠BMO，得kAM＋kBM＝0.∴＋＝0.即y1x2＋y2x1－m(x1＋x2)＝0， ∴2kx1x2＋x1＋x2－m(x1＋x2)＝0. 由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴－－＋＝0.∴m＝4. 所以存在定点M(0,4)使得∠AMO＝∠BMO. 3．(2023·沈阳市质检)已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)过点A(2,1)，且它的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，椭圆上的点到焦点F的最小值为2. (1)求抛物线C1和椭圆C2的标准方程； (2)设M，N是抛物线C1上的两个动点，且·＝－4. ①求证：直线MN必过定点，并求定点Q坐标； ②直线MN交椭圆C2于R、S两点，当S△FNS最大时，求直线MN的方程． 解：(1)把A(2,1)代入抛物线C1可得：4＝2p，p＝2. ∴抛物线C1的方程为x2＝4y.故F(0,1)， 又F(0,1)是椭圆C2：＋＝1的焦点，且椭圆上的点到焦点F的最小值为2， ∴，解得 ∴椭圆C2的标准方程为＋＝1. (2)证明：①∵直线MN与抛物线交于M，N两点， ∴直线MN斜率必存在． 设直线MN的方程为y＝kx＋b，M(x1，y1)， N(x2，y2)， 联立方程组，消去y可得： x2－4kx－4b＝0， ∴x1x2＝－4b，∴y1y2＝·＝b2， ∴·＝x1x2＋y1y2＝b2－4b＝－4，即b＝2. ∴直线MN的方程为y＝kx＋2. ∴直线MN过定点Q(0,2)． ②联立方程组，消去y可得： (9＋8k2)x2＋32kx－40＝0， 设R(x3，y3)，S(x4，y4)，则x3＋x4＝－， x3x4＝－， ∴|RS|＝ ＝， 又F(0,1)代直线MN的距离d＝， ∴S△FSR＝×|RS|×d＝， 令＝t，则t≥， ∴S△FSR＝＝， 由对勾函数的性质可知当t＝时，S△FSQ取得最大值，此时k＝0. ∴直线MN的方程为y＝2. 4．(2023·株洲市一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与直线l：bx－ay＝0都经过点M(2，)．直线m与l平行，且与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴分别交于E，F两点． (1)求椭圆C的方程； (2)证明：△MEF为等腰三角形． 解：(1)由直线l：bx－ay＝0经过点M(2，)，则a＝2b， 由椭圆C也经过点M(2，)，故将M(2，)代入椭圆方程：＋＝1，解得b2＝4，a2＝16， ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：设直线m为：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，