第7章 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第8节　直线与圆锥曲线的位置关系 [基础训练组] 1．直线y＝x＋1截抛物线y2＝2px所得弦长为2，此抛物线方程为(　　 ) A．y2＝－2x　　　　　 B．y2＝6x C．y2＝－2x或y2＝6x D．以上都不对 解析：C　[由得x2＋(2－2p)x＋1＝0.x1＋x2＝2p－2，x1x2＝1.∴2＝·＝·－4.解得p＝－1或p＝3， ∴抛物线方程为y2＝－2x或y2＝6x.故选C.] 2．(多选)已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N. 若2＝λ·，其中λ为非零常数，则动点M的轨迹可能是(　　 ) A．圆　 B．椭圆　 C．抛物线　 D．双曲线 解析：ABD　[以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系，设M(x，y)， A(－a,0)，B(a,0)，则N(x,0)． 因为2＝λ·，所以y2＝λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2＝λa2， 当λ＝1时，轨迹是圆； 当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ<0时，轨迹是双曲线；故选ABD.] 3．过点P(1,1)作直线与双曲线x2－＝1交于A，B两点，使点P为AB中点，则这样的直线(　　) A．存在一条，且方程为2x－y－1＝0 B．存在无数条 C．存在两条，方程为2x±(y＋1)＝0 D．不存在 解析：D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，则x－y＝1，x－y＝1， 两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)－ (y1－y2)·(y1＋y2)＝0，所以x1－x2＝(y1－y2)，即kAB＝2， 故所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 联立可得2x2－4x＋3＝0，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在．故选D.] 4．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：D　[如图焦点F(1,0)， 直线的方程为y＝(x＋2)， 将其代入y2＝4x得：x2－5x＋4＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝5，x1x2＝4， ∴·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 ＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋(x1＋2)·(x2＋2) ＝x1x2－(x1＋x2)＋ ＝×4－×5＋＝8.] 5．(2023·柳州市、钦州市一模)已知直线kx－y＋2k＝0与直线x＋ky－2＝0相交于点P，点A(4，0)，O为坐标原点，则tan∠OAP的最大值为(　　) A．2－ B. C．1 D. 解析：B　[设P(x，y)，由题意可得y≠0，由x＋ky－2＝0，得k＝(y≠0)，代入kx－y＋2k＝0，化简整理得x2＋y2＝4(y≠0)，所以点P的轨迹为以坐标原点为圆心，以2为半径的圆，去掉(2,0)和(－2,0)两点．如图，当点P在圆x2＋y2＝4(y≠0)上运动时，易知∠OAP为锐角，且当AP与圆x2＋y2＝4(y≠0)相切时，∠OAP最大，此时tan∠OAP最大．所以当AP与圆x2＋y2＝4(y≠0)相切时，连接OP，则OP⊥AP，因为A(4,0)，所以|OA|＝4，|OP|＝2，所以|AP|＝2，所以(tan∠OAP)max＝＝，故选B.] 6．(多选)已知B1，B2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)短轴上的两个顶点，点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q与点P关于y轴对称，则下列四个命题中正确的是(　　) A．直线PB1与PB2的斜率之积为定值－ B.·＞0 C．△PB1B2的外接圆半径的最大值为 D．直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线 解析：BC　[设P(x0，y0)，＋＝1，则kPB1·kPB2＝·＝＝－，因此A不正确； ∵点P在圆x2＋y2＝b2外， ∴x＋y－b2＞0，∴·＝(－x0，－b－y0)·(－x0，b－y0)＝x＋y－b2＞0，B正确；当点P在长轴的顶点A时，∠B1PB2最小且为锐角，设△PB1B2的外接圆半径为r，由正弦定理可得：2r＝≤＝＝＝. ∴r≤.∴△PB1B2的外接圆半径的最大值为，C正确；直线PB1的方程为y＋b＝x，直线QB2的方程为y－b＝x，两式相乘可得y2－b2＝x2，化为－＝1，由于点P不与B1，B2重合，∴M的轨迹为双曲线的一部分，∴D不正确．故选BC.] 7．已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝　________　. 解析：设直线AB的方程为y＝k(x－1)，由 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)， B(x2，y2)． 则x1＋x2＝，x1·x2＝1. ∵∠AMB＝90°，∴kMA·kMB＝－