第7章 第7节 抛物线-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第7节　抛物线 [基础训练组] 1．若拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　) A．2　　 B．3　　 C．4　　 D．8 解析：D　[由椭圆＋＝1，知半焦距c＝＝， ∴＝，∴p＝8.] 2．(2023·保定模拟)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(　　 ) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 解析：C　[由已知得抛物线的焦点F，设点M(x0，y0)， 则＝，＝. 由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M. 由|MF|＝5，得＝5. 又p＞0，解得p＝2或p＝8.] 3．(2023·海淀区一模)若抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是(　　) A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 解析：D　[∵设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x＝－的距离，显然当p为抛物线的顶点时，p到准线的距离取得最小值.∴＞1，即p＞2.故选D.] 4．(2023·广州市模拟)如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(　　) A．n＋10 B．n＋20 C．2n＋10 D．2n＋20 解析：A　[由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.故选A.] 5．(2023·上饶市一模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M(－2,2)，过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k＝(　　) A. B. C. D．2 解析：D　[由抛物线C：y2＝8x得焦点F(2,0)． 由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y＝k(x－2)， 代入抛物线方程，得到k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，Δ＞0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝4＋，x1x2＝4， ∴y1＋y2＝，y1y2＝－16.又·＝0， ∴·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝－＋4＝0，∴k＝2.故选D.] 6．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷，11)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则(　　) A．C的准线为y＝－1 B．直线AB与C相切 C．|OP|·|OQ|＞|OA|2 D．|BP|·|BQ|＞|BA|2 解析：BCD　[由题意可知：1＝2p，所以抛物线C：x2＝y，故C的准线方程为y＝－，故A不对；由y′＝2x得曲线C在点A(1,1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y＝2x－1，故直线AB与C相切，B正确；过点B(0，－1)的直线设为y＝kx－1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线与C方程可得⇒x2－kx＋1＝0，所以有x1＋x2＝k，x1x2＝1，且Δ＝k2－4>0，即k2>4，可得y1＋y2＝k2－2，y1y2＝1，此时|OP|·|OQ|＝＝＝＝>2， 又|OA|2＝2，所以C正确； |BP|·|BQ|＝·＝·＝k2＋1>5，又|BA|2＝5，故D正确；综上，选BCD.] 7．(2023·邯郸市模拟)设点P在圆C：x2＋(y－6)2＝5上，点Q在抛物线x2＝4y上，则|PQ|的最小值为　________　. 解析：设Q(x，y)，其中x2＝4y.又圆心C(0,6)，则|QC|＝＝ ＝(y≥0)．当y＝4时，|QC|min＝2，所以|PQ|min＝|QC|min－r＝2－＝. 答案： 8．(2023·来宾市调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则该抛物线的标准方程是　________　. 解析：把x＝－代入y＝±x，解得y＝±， 所以|AB|＝.因为△AOB的面积为，所以××＝，由e＝＝＝2.解得＝，所以×＝，解得p＝2，所以该抛物线的标准方程是y2＝4x. 答案：y2＝4x 9．(2023·重庆市模拟)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝　________　. 解析：F点坐标为，设