第7章 第6节 双曲线-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第6节　双曲线 [基础训练组] 1．(多选)(2023·沈阳市二模)已知双曲线C：－＝1，下列选项中对双曲线C的判断正确的是(　　) A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为8 C．离心率为 D．渐近线方程为x±y＝0 解析：BD　[由双曲线C：－＝1，得a2＝12，b2＝4，则c2＝a2＋b2＝16，c＝4.对于A，实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4，故A选项错误；对于B，焦距2c＝8，故B选项正确；对于C，离心率e＝＝，故C选项错误；对于D，渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0，故D选项正确．故选BD.] 2．双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为(　　) A.　 B.　 C．2　 D．3 解析：A　[由a＝2，b＝，c＝＝. ∵|PO|＝|PF|，∴xP＝，又P在C的一条渐近线上，不妨设P在y＝x上，则yP＝×＝，∴S△PFO＝|OF|·|yP|＝××＝，故选A.] 3．(多选)已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是(　　) A．C的方程为－y2＝1 B．C的离心率为 C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点 D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点 解析：AC　[设双曲线C的方程为－＝1，根据条件可知＝，所以方程可化为－＝1，将点(3，)代入得b2＝1，所以a2＝3，所以双曲线C的方程为－y2＝1，故A对；离心率e＝＝ ＝ ＝，故B错；双曲线C的焦点为(2,0)，(－2,0)，将x＝2代入得y＝e0－1＝0，所以C对；联立整理得y2－2y＋2＝0，则Δ＝8－8＝0，故只有一个公共点，故D错．故选AC.] 4．(2023·大庆市一模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过点F1的直线与C交于A，B两点，且AB⊥F1F2，现将平面AF1F2沿F1F2所在直线折起，点 A到达点P处，使平面PF1F2⊥平面BF1F2，若cos∠PF2B＝，则双曲线C的离心率为(　　) A. B. C．2 D. 解析：D　[因为平面PF1F2⊥平面BF1F2，PF1⊥F1F2，PF1⊂平面PF1F2，平面PF1F2∩平面BF1F2＝F1F2，所以PF1⊥平面BF1F2，而BF1⊂平面BF1F2，所以PF1⊥BF1，将x＝－c代入双曲线C的方程，得y＝±，所以|PF1|＝|BF1|＝，|PB|＝＝.|PF2|＝|BF2|＝＝， 法一：所以在△PBF2中，由余弦定理，得cos∠PF2B＝＝ ＝＝，整理得5b4＝16a2c2，所以b2＝4ac，(c2－a2)＝4ac，即c2－4ac－a2＝0，两边同时除以a2，得e2－4e－＝0，解得e＝或e＝－(舍去)，故选D. 法二：因为cos∠PF2B＝，所以sin＝＝.在△PBF2中，底边PB的垂直平分线将△PBF2分为两个直角三角形，则sin＝＝＝＝，整理得b2＝4ac，下同法一．] 5．(2023·佳木斯市三模)椭圆C：＋＝1与双曲线E：－＝1(a，b>0)有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[椭圆C：＋＝1的焦点坐标(±1，0)，离心率为.双曲线E：－＝1(a，b>0)的焦点(±1,0)，c＝1，双曲线的离心率为2.可知a＝，则b＝，双曲线渐近线y＝±x的倾斜角的正弦值为.故选D.] 6．(多选)已知点P是双曲线E：－＝1的右支上一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　) A．点P的横坐标为 B．△PF1F2的周长为 C．∠F1PF2小于 D．△PF1F2的内切圆半径为 解析：ABCD　　[双曲线E：－＝1的a＝4，b＝3，c＝5， 不妨设P(m，n)，m＞0，n＞0， 由△PF1F2的面积为20，可得|F1F2|n＝cn＝5n＝20，即n＝4. 由－＝1，可得m＝，故A正确． 由P，且F1(－5,0)，F2(5,0)，可得kPF1＝，kPF2＝， 则tan∠F1PF2＝＝∈(0，)，则∠F1PF2＜，故C正确． 由|PF1|＋|PF2|＝ ＋ ＝＋＝， 则△PF1F2的周长为＋10＝，故B正确． 设△PF1F2的内切圆半径为r，可得r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)＝·|F1F2|·4， 可得r＝40，解得r＝，故D正确．故选ABCD.] 7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为　__________　. 解析：∵双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即