第7章 第5节 椭 圆-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第5节　椭　圆 [基础训练组] 1．(2023·漳州市模拟)“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示椭圆”的(　　) A．必要且不充分条件 B．充分且不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[由方程mx2＋ny2＝1得＋＝1，所以要使方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆，则，即m＞0，n＞0且m≠n. 所以，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选A.] 2．(2023·太原一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为，则椭圆的离心率为(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. 解析：A　[由题意可知：根据三角形的面积公式可知：S＝×bc＝×a×，则a＝2b， 椭圆的离心率e＝＝＝，故选A.] 3．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：B　[由已知|AF1|＋|AF2|＝2a， |BF1|＋|BF2|＝2a. 又|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|， ∴|BF2|＝a，|AF2|＝|AF1|＝a， |BF1|＝a. 又|F1F2|＝2. ∴＝－ 解得a2＝3，∴b2＝2. ∴椭圆C的方程为＋＝1.选B.] 4．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[如图直线AP的方程为y＝(x＋a)，　① 直线PF2的方程为y＝(x－c)，② ①与②联立解得：x＝，y＝(a＋c)， ∴P， ∴|PF2|＝ ＝(a＋c)，又∵|PF2|＝|F1F2|，∴(a＋c)＝2c， ∴a＝4c，∴e＝＝.] 5．(2023·重庆市模拟)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，·的最大值、最小值分别为(　　) A．9,7 B．8,7 C．9,8 D．17,8 解析：B　[由题意可知椭圆的左右焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，设E(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，·＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝x2＋7(－3≤x≤3)，所以当x＝0时，·有最小值7，当x＝±3时，·有最大值8，故选B.] 6．(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是(　　) A．椭圆C的方程为＋x2＝1 B．椭圆C的方程为＋y2＝1 C．|PQ|＝ D．△PF2Q的周长为4 解析：ACD　[由已知得，2b＝2，b＝1，＝， 又a2＝b2＋c2，解得a2＝3. ∴椭圆方程为x2＋＝1，如图， ∴|PQ|＝＝＝，△PF2Q的周长为4a＝4.故选ACD.] 7．(2023·中卫市一模)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上任意一点M到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆C的标准方程是　________　. 解析：椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上的任意一点M到两个焦点的距离和是4，焦距是2，则有2a＝4,2c＝2，即a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，椭圆的标准方程为＋＝1. 答案：＋＝1 8．(2023·西安市一模)已知△ABC的顶点A(－3,0)和顶点B(3,0)，顶点C在椭圆＋＝1上，则＝　________　. 解析：由椭圆＋＝1，长轴长2a＝10，短轴长2b＝8，焦距2c＝6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点． 三角形ABC中，|AB|＝6，|BC|＋|AC|＝10，由正弦定理可知＝＝＝2R，则sin A＝，sin B＝， sin C＝，＝＝＝3. 答案：3 9．设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为　____________　. 解析：由已知可得a2＝36，b2＝20，∴c2＝a2－b2＝16，∴c＝4，∴|MF1|＝|F1F2|＝2c＝8. ∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，|MF2|＝4. 设点M的坐标为(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，则S△MF1F2＝·|F1F2|·y0＝4y0， 又S△MF1F2＝×4×＝4， ∴4y0＝4，解得y0＝， ∴＋＝1，解得x0＝3(x0＝－3舍去)， M的坐标为(3，)． 答案：(3，) 10．(2023·郑州测试)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8. (1)求椭圆C