第7章 第3节 圆的方程-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第3节　圆的方程 [基础训练组] 1．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与该圆的位置关系是(　　) A．原点在圆上　　　 B．原点在圆外 C．原点在圆内 D．不确定 解析：B　[将圆的方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，即>，所以原点在圆外．故选B.] 2．(2023·石家庄市一模)已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(－1,0)和(2,3)，则圆C的半径为(　　) A．8　　 B．2　　 C．5　　 D. 解析：D　[设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．∵圆C经过点(－1,0)和(2,3)， ∴∴a＋b－2＝0，① 又圆C截两坐标轴所得弦长相等，∴|a|＝|b|，② 由①②得a＝b＝1，∴圆C的半径为，故选D.] 3．(2023·揭阳市模拟)设点P是函数y＝－的图像上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为(　　) A.－2 B. C.－2 D.－2 解析：C　[如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1,0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为A，则|CA|＝，|PQ|min＝|CA|－2＝－2.故选C.] 4．圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋(y－1)2＝5 C．(x－1)2＋(y－2)2＝25 D．(x－2)2＋(y－1)2＝25 解析：A　[由圆心在曲线y＝(x>0)上，设圆心坐标为，a>0.又圆与直线2x＋y＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d＝≥＝，当且仅当2a＝，即a＝1时取等号，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.故选A.] 5．(2023·温州市一模)已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当点C运动时，点H运动的轨迹(　　) A．是圆 B．是椭圆 C．是抛物线 D．不是平面图形 解析：A　[设定圆圆心为O，半径为r，连接OH，设直径BD，连接AD，CD，由AB⊥平面BCD，可得AB⊥CD，由直径所对圆周角为直角，可得CD⊥BC，即有CD⊥平面ABC，可得CD⊥BH，BH⊥AC，即有BH⊥平面ACD，则BH⊥DH，在直角三角形BDH中，可得OH＝OB＝OD＝r，即有H的轨迹为以O为圆心，r为半径的圆．故选A.] 6．(多选)已知点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，若△PAB面积的最大值为a，最小值为b，则(　　) A．a＝2 B．a＝2＋ C．b＝2－ D．b＝－1 解析：BC　[由题意知|AB|＝＝，lAB∶2x－y＋2＝0， 由题意知圆心坐标为(1,0)，所以圆心到直线lAB的距离d＝＝＝. 所以S△PAB的最大值a＝××＝(4＋)＝2＋， S△PAB的最小值b＝×× ＝(4－)＝2－.] 7．已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，则直角顶点C的轨迹方程为　________　. 解析：法一：设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1. 又因为kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1， 所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)． 法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)． 由直角三角形的性质知，AD＝DB＝DC. 由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)． 答案：x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1) 8．(2023·南充市模拟)若直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)始终平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是　________　. 解析：∵直线2ax－by＋2＝0(a、b∈R)始终平分x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，∴圆心(－1,2)在直线2ax－by＋2＝0上，可得－2a－2b＋2＝0，解得b＝1－a.∴a·b＝a(1－a)＝－2＋≤，当且仅当a＝时等号成立，因此a·b的取值范围为. 答案： 9．(2023·贵阳市一模)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为　________　. 解析：设直线上一点为P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即切线长，MQ为圆