第6章 核心素养系列(四) 立体几何高考中档大题的规范答题策略-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

核心素养系列(四) 立体几何高考中档大题的规范答题策略 1．(2023·大庆市一模)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M是AD的中点，将△MAB沿BM向上折起，使平面ABM⊥平面BCDM (1)求证：AB⊥CM； (2)求点D到平面ACM的距离． 解：(1)证明：由题意可知，BM＝＝＝2， CM＝＝＝2，BC＝4， 所以，在△BCM中，BC2＝BM2＋CM2， 所以CM⊥BM； 因为平面ABM⊥平面BCDM且BM是交线，CM⊂平面BCDM， 所以CM⊥平面ABM， 因为AB⊂平面ABM，所以AB⊥CM. (2)取BM中点E，连接AE. 因为AB＝AM且E为BM中点，所以AE⊥BM. 因为AE⊂平面ABM，面ABM⊥面BCDM，BM是交线， 所以AE⊥平面BCDM， 故AE长即为点A到平面BCDM的距离， 算得AE＝. 由(1)可知，CM⊥AM，△ACM是直角三角形，AM＝2，CM＝2，所以S△ACM＝·2·2＝2，S△MCD＝·2·2＝2. 设点D到平面ACM的距离为h， 因为VD－ACM＝VA－MCD， 所以·S△ACM·h＝·S△MCD·AE，解得h＝1， 故点D到平面ACM的距离为1. 2．(2023·聊城市三模)如图1所示，EFGH为矩形，四边形ABCD为正方形．ADD1A1与BCC1B1为全等的等腰梯形，其中AB＝2AE＝2AA1＝2DH＝2A1D1＝4，沿着AB，BC，CD，DA折成如图2所示的几何体ABCD－A1B1C1D1，使A1，B1，C1，D1分别与E，F，G，H重合． (1)求证：平面AA1D1D⊥平面ABCD； (2)求平面B1CD1与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥AD，∵四边形ABB1A1是矩形， ∴AB⊥AA1，又∵AD∩AA1＝A，AA1⊂平面AA1D1D，AD⊂平面AA1D1D. ∴AB⊥平面AA1D1D. 又因为AB⊂平面ABCD， ∴平面AA1D1D⊥平面ABCD. (2)由(1)知平面ABCD⊥平面ADD1A1. 过A1作A1O⊥AD于点O， ∵平面ABCD⊥平面ADD1A1， 平面ABD∩平面ADD1A1＝AD， ∴A1O⊥平面ABCD. 过O作ON∥AB，且交BC于点N， ∴OA1，OD，ON两两垂直， 分别以OD，ON，OA1为x轴，y轴，z轴，建空间直角坐标系如图所示： 则C(3,4,0)，D1(2,0，)，B1(0,4，)， ＝(－1，－4，)，＝(－3,0，)， 设平面B1CD1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则由，得 令z＝，得n＝. 又平面ABCD的一个法向量m＝(0,0,1)， ∴cos〈m，n〉＝＝， ∴平面B1CD1与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为. 3．(2023·西宁市二模)如图1，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上，如图2所示． (1)求证：EF⊥AD. (2)若二面角A－EF－D的平面角为45°，K是线段CF上(含端点)一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为.若存在，求出CK的长度；若不存在，请说明理由． 解：(1)因为EF⊥AE，EF⊥DE，AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面ADE，所以EF⊥平面ADE. 又AD⊂平面ADE，所以EF⊥AD. (2)存在，且CK的长度为2.以E为坐标原点，EA，EF所在直线分别为x轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设KF＝t(0≤t≤2)，则A(2,0,0)，K，＝，设直线AK与平面CDEF所成的角为θ，则tan θ＝，从而sin θ＝，设平面CDEF的法向量为u，且u与直线AK的方向向量的夹角为β，则|cos β|＝，易知平面CDEF的一个法向量为u＝(1，－1,0)，所以|cos β|＝＝ ＝，解得t＝0或t＝2(舍)． 所以KF＝0，所以CK的长度为2. 4．(2023·兰州市二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AD∥BC，AB＝AD＝AP＝2，BC＝3，E为PD的中点，点F在棱PB上，且满足AF∥平面PCD. (1)求的值； (2)求平面AEF与平面PAB夹角的余弦值． 解：(1)因为PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，3,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)， 则＝(2,0,0)，＝(－2，－1,0)，＝(0,2，－2)，＝(－2,0,2)． 设＝λ，则＝＋＝(2－2λ，0,2λ)，设平面PCD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则，即，取x1＝