第6章 第7节 第1课时 空间中的点、直线、平面与空间向量-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第7节　空间向量在立体几何中的应用 第一课时　空间中的点、直线、平面与空间向量 [基础训练组] 1．若直线l的一个方向向量为a＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u＝(1,1，－1)，则(　　) A．l∥α或l⊂α　　　 B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 解析：A　[由条件知a·u＝2×1＋5×1＋7×(－1)＝0，所以a⊥u，故l∥α或l⊂α.故选A.] 2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于(　　) A．2　 B．－4　 C．－5　 D．－2 解析：C　[因为α⊥β，所以1×(－2)＋2×(－4)＋(－2)×k＝0，所以k＝－5.] 3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A. B. C. D. 解析：D　[因为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，所以＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)． 经验证，当n＝时， n·＝－＋0＝0，n·＝＋0－＝0，故选D.] 4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为(　　) A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 解析：C　[以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，依题意，可得，D(0,0，0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)． ∴＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，∴·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，即⊥，∴AM⊥PM.故选C项．] 5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 解析：B　[以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0，0,1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)， ＝，＝(－1，－1,1)，＝－，·＝·＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.故选B.] 6．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2，0)，＝(－1,2，－1)．下列结论正确的有(　　 ) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D.∥ 解析：ABC　[对于A，·A＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，∴⊥，即AP⊥AB，A正确；对于B，·＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，B正确；对于C，由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，C正确；对于D，由是平面ABCD的法向量，得出⊥，则D错误．故选ABC.] 7．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为　________　. 解析：由题意知，点Q即为点P在平面yOz内的射影，所以垂足Q的坐标为(0，，)． 答案：(0，，) 8．(2023·武汉市调研)已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是　________　. 解析：设平面α的法向量为m＝(x，y，z)， 由m·＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z， 由m·＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1， ∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β. 答案：α∥β 9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是　________　. 解析：∵正方体棱长为a，A1M＝AN＝， ∴＝，＝， ∴＝＋＋＝＋＋ ＝(＋)＋＋(＋) ＝＋. 又∵是平面B1BCC1的法向量， ∴·＝·＝0， ∴⊥.又∵MN⊄平面B1BCC1，∴MN∥平面B1BCC1. 答案：平行 10．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证： (1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD. 证明：(1)以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空