第6章 第5节 空间中的垂直关系-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第5节　空间中的垂直关系 [基础训练组] 1．(2023·南阳、信阳等六市一模)设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是(　　) A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β C．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β 解析：D　[若m∥α，n∥β，m⊥n，则α、β位置关系不确定，选项A不正确；若m∥α，则α中存在直线c与m平行，m∥n，n⊥β，则c⊥β，又∵c⊂α，∴α⊥β，选项B不正确；若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α、β可以相交，选项C不正确；若m⊥α，m∥n，n⊥β，∴α∥β，选项D正确．故选D.] 2．(2023·兰州市诊断)设α，β，γ为不同的平面，m，n为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是(　　) A．α⊥β，α∩β＝n，m⊥n B．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ C．α⊥β，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α 解析：D　[A不对，m可能在平面β内，也可能与β平行；B，C不对，满足条件的m和β可能相交，也可能平行；D对，由n⊥α，n⊥β可知α∥β，结合m⊥α知m⊥β，故选D.] 3．(2023·唐山一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有(　　 ) A．AG⊥平面EFH　　 B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF 解析：B　[根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，又HE∩HF＝H， ∴AH⊥平面EFH，B正确． ∵过A只有一条直线与平面EFH垂直， ∴A不正确． ∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G， ∴EF⊥平面HAG， 又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确． 由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．] 4．(2023·衡水市调研)如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC 解析：D　[因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确； 在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE. 因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．] 5．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷，9)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则(　　) A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90° C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45° 解析：ABD　[如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故选项A，B均正确；设A1C1∩B1D1＝O，因为A1C1⊥平面BB1D1D，所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为∠C1BO，在直角△C1BO中，sin∠C1BO＝＝，故∠C1BO＝30°，故选项C错误；直线BC1与平面ABCD所成的角为∠C1BC＝45°，故选项D正确．故选ABD.] 6．(多选)(2023·广州市调研)如图，已知矩形ABCD，AB＝，AD＝1，AF⊥平面ABCD且AF＝3，点E为线段DC(除端点外)上一点，沿直线AE将△DAE向上翻折成△D′AE，M为BD′的中点，则下列说法正确的有(　　) A．三棱锥A－BCF的体积为 B．当点E固定在线段DC上某位置时，D′在某圆上运动 C．当点E在线段DC上运动时，D′在某球面上运动 D．当点E在线段DC上运动时，三棱锥M－BCF体积的最小值为 解析：BCD　[A选项，由题意可得VA－BCF＝VF－ABC＝×××1×3＝，故A错误．B选项，当固定点E时，由DA⊥DE，知D′A⊥D′E，故点D′在以AE为直径的圆上运动，故B正确．C选项，当点E在线段DC上运动时，AD′＝AD＝1保持不变，即D′的轨迹是以A为球心，半径为1的球面的一部分，故C正确．D选项，因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AC，AF⊥BC，所以BF2＝AF2＋AB2＝12，易得AC＝2，所以CF2＝AF2＋AC2＝13，又BC＝AD＝1，所以BC2＋BF2＝CF2，所以BC⊥BF，所以S△BCF＝BC×BF＝×1×＝(为定值)，所以求三棱锥M