第4章 第3节 向量的数量积-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第3节　向量的数量积 [基础训练组] 1．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．5 解析：A　[由已知得|a＋b|2＝10，|a－b|2＝6，两式相减，得a·b＝1.] 2．已知向量a，b满足 │a│ ＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量a方向上的投影向量为(　　) A．a B.a C．－a D.a 解析：A　[向量a－2b在向量a方向上的投影向量为·＝·a＝a.] 3．(2023·岳阳质监)已知向量a＝(，1)，向量a－b＝(＋1，＋1)，则a与b的夹角大小为(　　) A．30°　 B．60°　 C．120°　 D．150° 解析：D　[∵向量a＝(，1)，向量a－b＝(＋1，＋1)， ∴b＝(－1，－)， cos〈a，b〉＝＝－，且0≤〈a，b〉≤π， ∴a，b的夹角为＝150°.故选D.] 4．(2023·贵阳适应性考试一)已知向量a，b，c满足a＝(3,0)，b＝(0,4)，c＝λa＋(1－λ)b(λ∈R)，则|c|的最小值为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 解析：B　[由条件可知c＝(3λ，4－4λ)， 则|c|＝＝＝，当λ＝时，|c|min＝.故选B.] 5．(多选)(2023·山东高考预测卷)已知平面向量a＝(1,0)，b＝(1,2)，则下列说法正确的是(　　) A．|a＋b|＝16 B．(a＋b)·a＝2 C．向量a＋b与a的夹角为30° D．向量a＋b在a上的投影向量为2a 解析：BD　[由题意，得a＋b＝(2,2)，对于A，|a＋b|＝＝4，故A不正确；对于B，(a＋b)·a＝2×1＋2×0＝2，故B正确；对于C，因为cos〈(a＋b)，a〉＝＝＝，所以向量a＋b与a的夹角为60°，故C不正确；对于D，向量a＋b在a上的投影向量为·＝2a，故D正确，综上所述，故选BD.] 6．(2023·常德期末)已知点M的坐标为(2,0)，AB是圆O：x2＋y2＝1的一条直径，则·＝　______　. 解析：设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，且x＋y＝1，则·＝(x0－2，y0)·(－x0－2，－y0)＝－(x－4)－y＝3. 答案：3 7．(2022·全国甲卷，13)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝　________　. 解析：因为cos〈a，b〉＝，|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×3×＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×1＋32＝11. 答案：11 8．(2023·内江市一模)已知正方形ABCD的边长为2，则·(＋)＝　________　. 解析：如图所示，正方形ABCD的边长为2， ·(＋)＝·(＋2)＝ 2＋2·＝4. 答案：4 9．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影向量为　______　. 解析：∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝，|b|＝，∴a在b上的投影向量为·＝(－4,7)＝. 答案： 10．已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC＝120°，且·＝－. (1)求△ABC的面积； (2)若AB＝5，求AD的长． 解：(1)∵·＝－，∴||·||·cos∠BAC＝－||·||＝－，即||·||＝15， ∴S△ABC＝||·||sin ∠BAC＝×15×＝. (2)由AB＝5得AC＝3， 延长AD到E，使AD＝DE，连接BE. ∵BD＝DC, ∴四边形ABEC为平行四边形，∴∠ABE＝60°， 且BE＝AC＝3. 设AD＝x，则AE＝2x，在△ABE中，由余弦定理得：(2x)2＝AB2＋BE2－2AB· BEcos ∠ABE＝25＋9－15＝19，解得x＝，即AD的长为. [能力提升组] 11．(多选)已知向量a＝(，1)，b＝(cos α，sin α)，α∈，则下列结论正确的有(　　) A．|b|＝1 B．若a∥b，则tan α＝ C．a·b的最大值为2 D．|a－b|的最大值为3 解析：AC　[对于A，|b|＝＝1，A正确；对于B，若a∥b，则sin α－cos α＝0，∴tan α＝，B错误；对于C，a·b＝cos α＋sin α＝2sin，最大值为2，C正确；对于D，|a－b|＝ ＝＝ 因为α∈，所以α＋∈，则 sin∈，即|a－b|max＝＝，D错误．故选AC.] 12．(2023·盐城、南京模拟一)在平面直角坐标系xOy中，设A(1,0)，B(3,4)，向量＝x＋y，x＋y＝6，则||的最小值为(　　) A．1　 B．2　 C.　 D．2 解析：D　[＝(1,0)，＝(3,4)， 则＝x＋y＝(x＋3y,4y)， 由x＋y＝6，得x＝6