第4章 第1节 平面向量及其线性运算-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第四章　平面向量、复数 第1节　平面向量及其线性运算 [基础训练组] 1．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E为BC的中点，则等于(　　) A.＋　　　　 B.＋ C.＋ D.＋ 解析：A　[＝＋＋＝－＋，＝＋＝＋＝＋＝＋.故选A.] 2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　) A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 解析：D　[由题意可设c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)， (λ－k)a＝(λ＋1)b.∵a，b 不共线，∴ ∴k＝λ＝－1.∴c与d反向．故选D.] 3．(多选)已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则＝(　　 ) A.＋ B.－ C.＋ D.＋ 解析：AC　[如图所示，设BC中点为E，则＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋·＝＋.故选AC.] 4．已知向量a，b是两个不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则“A，B，C三点共线”是“λ1·λ2－1＝0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[A，B，C三点共线等价于，共线，根据向量共线的充要条件知，、共线，即存在实数λ，使得＝λ，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于向量a，b不共线，根据平面向量的基本定理得λ1·λ＝1且λ2＝λ，消掉λ，得λ1·λ2－1＝0.故“A，B，C三点共线”是“λ1·λ2－1＝0”的充分必要条件．] 5.(2023·河南名校联盟一模)如图，在△ABC中，点M是AB上的点且满足＝3，P是CM上的点，且＝，设＝a，＝b，则＝(　　) A.a＋b　　　　　 B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：B　[＝3⇒＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.故选B.] 6．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：D　[设＝y， ∵＝＋ ＝＋y＝＋y(－) ＝－y＋(1＋y). ∵＝3，点O 在线段CD上(与点C，D不重合)， ∴y∈，∵＝x＋(1－x)， ∴x＝－y，∴x∈.] 7．(2023·朔州模拟)已知O是△ABC内一点，满足＝，则S△ABC∶S△OBC＝(　　) A．3∶1　 B．1∶3　 C．2∶1　 D．1∶2 解析：A　[＝＝＋＝＋(－)＝(＋)， 所以O是△ABC的重心，所以S△ABC∶S△OBC＝3∶1.故选A.] 8．(多选)在给出的下列命题中，正确的是(　　) A．设O、A、B、C是同一平面上的四个点，若＝m·＋(1－m)·(m∈R)，则点A、B、C必共线 B．若向量a，b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c都可以表示为c＝λa＋μb(μ、λ∈R)，且表示方法是唯一的 C．已知平面向量、、满足·＝·，＝λ则△ABC为等腰三角形 D．已知平面向量、、满足||＝||＝||＝r(r＞0)，且＋＋＝0，则△ABC是等边三角形 解析：ACD　[对于A，＝m·＋(1－m)·(m∈R)， ∴－＝m(－)，∴＝m，且有公共点C， ∴点A、B、C共线，命题A正确； 对于B，根据平面向量的基本定理缺少条件a，b不共线，故B错误；对于C，由于·＝·，即·(－)＝0，·＝0， 得⊥，即OA为BC的垂线， 又由于＝λ，可得OA在∠BAC的角平分线上， 综合得△ABC为等腰三角形，故C正确； 对于D，平面向量、、满足||＝||＝||＝r(r＞0)，且＋＋＝0， ∴＋＝－，∴2＋2·＋2 ＝2， 即r2＋2r2·cos〈，〉＋r2＝r2， ∴cos〈，〉＝－， ∴、的夹角为120°，同理、的夹角也为120°， ∴△ABC是等边三角形，故D正确．故选ACD.] 9．已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，若a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，则t＝　________　. 解析：∵a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同． ∴a－tb与a－(a＋b)共线，即a－tb与a－b共线，∴存在实数λ，使a－tb＝λ， ∴解得 即当t＝时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上． 答案： 10．在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝ ，＝ ，则＝　________　(用e1，e2表示)． 解析：如图所示，＝－＝＋2 ＝＋＝－e2＋(e2－e1)＝－e1＋e2. 答案：－e1＋e2 11．已知D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题： ①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0. 其中正确命题的序号为　________