第3章 核心素养系列(二) 三角函数与解三角形高考中档大题的规范问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

核心素养系列(二) 三角函数与解三角形高考中档大题的规范问题 1. 在①(a＋b)(a－b)＝(a－c)c，②2a－c＝2bcos C，③(a－bcos C)＝csin B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足　________　，b＝2. (1)若a＋c＝4，求△ABC的面积； (2)求a＋c的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：若选条件①，由(a＋b)(a－b)＝(a－c)c化简得，a2＋c2－b2＝ac，(变形，利用余弦定理求B) 由余弦定理得cos B＝，即cos B＝， 因为0＜B＜π，所以B＝. 若选条件②，由2a－c＝2bcos C及正弦定理，得2sin A－sin C＝2sin Bcos C，即2sin (B＋C)－sin C＝2sin Bcos C，化简得2 cos Bsin C＝sin C，(利用正弦定理以及两角和的正弦公式求B) 因为0＜C＜π，所以sin C≠0，所以cos B＝， 又0＜B＜π，所以B＝. 若选条件③，由(a－bcos C)＝csin B及正弦定理，得(sin A－sin Bcos C)＝sin Csin B， 即[sin(B＋C)－sin Bcos C]＝sin Csin B，化简得cos Bsin C＝sin Csin B，(利用正弦定理以及两角和的正弦公式求B) 因为0＜C＜π，所以sin C≠0，所以tan B＝， 又0＜B＜π，所以B＝. (1)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B， 即12＝42－2ac－2ac·， 解得ac＝，(利用余弦定理以及整体思想求得ac的值) 所以△ABC的面积S＝acsin B＝××sin ＝. (2)由正弦定理得＝＝ ＝＝4， 因为A＋C＝π－B＝， 所以a＋c＝4(sin A＋sin C)＝ 4 ＝4＝4sin， 因为0＜A＜，所以＜A＋＜， sin∈， 所以a＋c∈(2，4 ]， 即a＋c的取值范围为(2，4 ]． 2．(2022·北京卷)在△ABC中，a＋b＝11, 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： (1) a的值； (2)sin C和△ABC的面积． 条件①：c＝7，cos A＝－； 条件②：cos A＝，cos B＝. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 解：选择条件① (1)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 即a2－b2＝49－14b×， (a＋b)(a－b)＝49＋2b， 11a－11b＝49＋2b， 11a＝49＋13b， ∵a＋b＝11， ∴b＝11－a， ∴11a＝143－13a＋49， ∴24a＝192， ∴a＝8. (2)∵在△ABC中，cos A＝－，A∈(0，π)， ∴sin A>0， ∴sin A＝ ＝， 由正弦定理得：＝， ∴sin C＝＝＝， 由(1)知，b＝11－a＝3， ∴S△ABC＝absin C＝×8×3×＝6. 选择条件②： (1)∵在△ABC中，sin A>0，sin B>0， ∴sin A＝ ＝＝， sin B＝ ＝， 由正弦定理得＝， ∴＝＝×＝，∵a＋b＝11， ∴a＝6. (2)在△ABC中， C＝π－(A＋B)， ∴sin C＝sin(A＋B)， ＝sin Acos B＋sin Bcos A， ＝×＋×＝， ∵b＝11－a＝11－6＝5， ∴S△ABC＝absin C＝×6×5×＝. 3．(2023·长沙市一模)△ABC中，已知点D在BC边上，且·＝0，sin ∠BAC＝，AB＝3，BD＝. (1)求AD的长； (2)求cos C. 解：(1)由·＝0，得到AD⊥AC，所以sin ∠BAC＝ sin＝cos ∠BAD， 所以cos ∠BAD＝. 在△ABD中，由余弦定理可知，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD， 即AD2－8AD＋15＝0，解之得AD＝5或AD＝3， 由于AB＞AD，所以AD＝3. (2)在△ABD中，由正弦定理可知，＝， 又由cos ∠BAD＝，可知sin ∠BAD＝. 所以sin ∠ADB＝＝. 因为∠ADB＝∠DAC＋∠C＝＋∠C， 即cos C＝. 4．(2023·海拉尔区一模)已知向量m＝(2cos x，sin x)，n＝(cos x,2cos x)(x∈R)，设函数f(x)＝m·n－1. (1)求函数f(x)的单调增区间； (2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f(A)＝2，B＝，边AB＝3，求边BC. 解：由已知得到函数f(x)＝m·n－1＝2cos2x＋2·sin xcos x－1＝cos 2x＋sin 2x ＝