第3章 第7节 正弦定理与余弦定理的应用-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第7节　正弦定理与余弦定理的应用 [基础训练组] 1．如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　 ) A．北偏东10°　　　　　 B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80° 解析：D　[由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.] 2．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　) A．10 km B．10 km C．10 km D．10 km 解析：D　[由余弦定理可得：AC2＝AB2＋CB2－2AB×CB×cos 120°＝102＋202－2×10×20×＝700.所以AC＝10(km)．] 3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　) A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m 解析：C　[因为tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，所以BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)．] 4．(2023·南昌市一模)已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若cos α＝cos β，则v＝(　　) A．60　　 B．80　　 C．100　　 D．125 解析：C　[如图所示： AB＝150，AC＝200，B＝α，C＝β， 在Rt△ADB中，AD＝ABsin α＝150sin α， BD＝ABcos α， 在Rt△ADC中，AD＝ACsin β＝200sin β， CD＝ACcos β， ∴150sin α＝200sin β，即3sin α＝4sin β，①， 又cos α＝cos β，②， 由①②解得sin β＝，cos β＝，sin α＝，cos α＝. ∴BD＝ABcos α＝150×＝90，CD＝ACcos β＝200×＝160，∴BC＝BD＋CD＝90＋160＝250，∴v＝＝100.故选C.] 5．(多选)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离12海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为12海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向．下面结论正确的有(　　) A．AD＝24 B．CD＝12 C．∠CDA＝60°或∠CDA＝120° D．∠CDA＝60° 解析：ABD　[如图，在△ABD中，∠B＝45°，由＝＝＝24，AD＝24，A正确；在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×ADcos 30°＝(12)2＋242－2×12×24×＝144，∴CD＝12，B正确；由正弦定理得＝，sin∠CDA＝，故∠CDA＝60°或者∠CDA＝120°，因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°，D正确，C错．] 6．(多选)如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a cos C＋ccos A)＝2bsin B，且∠CAB＝，若点D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，下列说法中，正确的命题是(　　) A．△ABC的内角B＝ B．△ABC的内角C＝ C．四边形ABCD面积的最大值为＋3 D．四边形ABCD面积无最大值 解析：ABC　[∵(a cos C＋ccos A)＝2bsin B， ∴(sin Acos C＋sin Ccos A)＝2sin2 B， ∴sin(A＋C)＝2sin2B，∴sin B＝2sin2 B， ∴sin B＝. ∵∠CAB＝，∴B∈，∴B＝， ∴C＝π－A－B＝，因此A，B正确； 四边形ABCD面积等于S△ABC＋S△ACD＝AC2＋AD·DC·sin∠ADC ＝(AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC)＋AD·DC·sin ∠ADC ＝(9＋1－6·cos∠ADC)＋×3sin∠ADC＝＋3sin≤＋3， 因此C正确，D错误．故选A、B、C.] 7．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20 n mile的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30 min后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向上，则海轮的速度为　________　n mile/min. 解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°， 由正弦定理得＝， 所以AC＝＝ ＝10(n mile)， 所以海轮航行的速度为 ＝(n mile/min)． 答案： 8．如图，在△