第3章 第6节 正弦定理与余弦定理-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第6节　正弦定理与余弦定理 [基础训练组] 1．(2023·莆田市一模)在△ABC中，BC＝2，AB＝4，cos C＝－，则AC的值为(　　 ) A．2　　 B．3　　 C．4　　 D．5 解析：B　[△ABC中，a＝BC＝2，c＝AB＝4，cos C＝－，∴c2＝a2＋b2－2abcos C，即16＝4＋b2－4b×，化简得b2＋b－12＝0，解得b＝3或b＝－4(不合题意，舍去)，∴b＝AC＝3.故选B.] 2．(多选)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是(　　 ) A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45° C．a＝6，b＝3，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30° 解析：BC　[对于A，因为b＝7，c＝3，C＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝＝＝＞1，无解；对于B，b＝5，c＝4，B＝45°，所以由正弦定理可得sin C＝＝＝＜1，且c＜b，有一解；对于C，因为a＝6，b＝3，B＝60°，所以由正弦定理可得sin A＝＝＝1，A＝90°，此时C＝30°，有一解；对于D，因为a＝20，b＝30，A＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝＝＝＜1，且b＞a，所以B有两个值，有两解．] 3．(2023·九江一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin B＝2sin A，acos B＝c＋1，则A＝(　　) A. B. C. D. [解析]　C　[法一：由正弦定理及asin B＝2sin A，得ab＝2a，b＝2. 又∵acos B＝c＋1，由余弦定理得a·＝c＋1，即a2－c2－b2＝2c， 由余弦定理得cos A＝＝－＝－， 又∵A∈(0，π)， ∴A＝.故选C. 法二：由正弦定理及asin B＝2sin A，得ab＝2a，b＝2. 又∵acos B＝c＋1，∴acos B＝c＋b， 由正弦定理得sin Acos B＝sin C＋sin B， ∴sin Acos B＝sin(A＋B)＋sin B ＝sin Acos B＋cos Asin B＋sin B， ∴cos Asin B＋sin B＝0， ∵B∈(0，π)，∴sin B>0，∴cos A＝－， 又∵A∈(0，π)， ∴A＝.故选C.] 4．(2022·全国甲卷，8)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝(　　) A. B. C. D. 解析：B　[由条件得，△OAB为等边三角形，有OC＝，CD＝2－，所以s＝AB＝＝2＋＝2＋＝.] 5．(多选)下列命题中，正确的是(　　 ) A．在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B B．在锐角三角形ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立 C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形 D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形 解析：ABD　[对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈，且A＋B＞，则＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选A、B、D.] 6．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是(　　) A．sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6 B．△ABC是钝角三角形 C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D．若c＝6，则△ABC外接圆半径为 解析：ACD 　[因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11， 所以可设(其中x＞0)，解得a＝4x，b＝5x，c＝6x.所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，所以A正确； 由上可知：c边最大，所以三角形中C角最大， 又cos C＝＝＝＞0，所以C角为锐角，所以B错误；由上可知：a边最小，所以三角形中A角最小， 又cos A＝＝＝， 所以cos 2A＝2cos2A－1＝，