第3章 第4节 三角恒等变换-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第4节　三角恒等变换 [基础训练组] 1．若sin α＝，则cos 2α＝(　　 ) A.　　 B.　　 C．－　　 D．－ 解析：B　[cos 2α＝1－2sin2α＝1－＝.] 2．(2023·广东模拟)已知sin＝－，则sin 2α的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：A　[法一：sin＝－，所以cos＝1－2sin2＝1－2×2＝－，即cos＝－sin 2α＝－，所以sin 2α＝，故选A. 法二：因为sin＝－，所以sin αcos ＋cos αsin＝－，即sin α＋cos α＝－，所以(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝2，所以sin 2α＝，故选A.] 3．(2023·吕梁一模)已知sin＝，则cos＝(　　) A.　 B．－　 C.　 D．－ 解析：A　[cos＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝，故选A.] 4．(多选)已知函数f(x)＝cos x·sin，则下列结论中错误的是(　　) A．f(x)既是奇函数又是周期函数 B．f(x)的图像关于直线x＝对称 C．f(x)的最大值为1 D．f(x)在区间上单调递减 解析：ACD　[f(x)＝cos x·sin＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋(1＋cos 2x)＝sin＋，所以f(x)不是奇函数，f(x)的最大值不为1，f(x)在区间上不是单调函数，所以A、C、D错误．令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝，故f(x)的图像关于直线x＝对称，故选ACD.] 5．(多选)下列式子运算正确的有(　　 ) A．sin 15°＋cos 15°＝ B．cos 75°＝ C．2tan 15°＋tan215°＝1 D．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1 解析：ACD　[∵sin 15°＋cos 15° ＝＝＝，∴A正确；cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝×－×＝，∴B错误；又由tan 30°＝，得1－tan215°＝＝2tan 15°，所以2tan 15°＋tan215°＝1，故C正确．∵1＝tan 45°＝tan(12°＋33°)＝，∴tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°.∴tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1，故D正确．] 6．(2023·株洲质检一)已知θ∈，sin＝，则tan θ＝(　　) A．2 B. C．3 D. 解析：C　[因为θ∈，则－<θ－<，故cos＝＝， 所以sin θ＝sin ＝＝， 故cos θ＝＝，因此tan θ＝＝3.故选C.] 7．(2022·浙江卷，13)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝　________　，cos 2β＝　________　. 解析：由题意知3sin α－sin β＝，α＋β＝， 所以3sin α－cos α＝，又∵sin2α＋cos2α＝1， 解得sin α＝.所以cos 2β＝cos(π－2α)＝ －cos 2α＝2sin2α－1＝. 答案：　 8．(2023·贵阳市一模)已知tan(π＋α)＝2，则cos 2α＋sin 2α＝　________　. 解析：∵tan (π＋α)＝tan α＝2， ∴sin 2α＋cos 2α＝＝＝＝. 答案： 9.＝　________　. 解析：原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝－4. 答案：－4 10．(2023·南京市一模)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为. (1)求cos 2α的值； (2)求2α－β的值． 解：(1)因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角， 所以cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝. (2)因为点Q的纵坐标为，所以sin β＝. 又因为β为锐角，所以cos β＝. 因为cos α＝，且α为锐角，所以sin α＝， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝， 所以sin (2α－β)＝×－×＝. 因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝. [能力提升组] 11．(2023·晋中1月调研)已知α∈，1＋cos 2α＝sin 2α，则tan α等于(　　) A. B. C. D. 解析：A　[因为1＋cos 2α＝sin 2α，所以2cos2α＝sin αcos α， 因为α∈，所以cos α≠0， 解得tan α＝.故选A.] 12．(多选)给出下列四个关系式，其中不正确