第2章 第13节 第1课时 利用导数证明不等式-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第13节　导数的综合应用 第一课时　利用导数证明不等式 1．(2023·红河州一模)已知函数f(x)＝－ln x(m，n∈R)． (1)若函数f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x－y＝0平行，求实数n的值； (2)若n＝1时，函数f(x)恰有两个零点x1，x2(0＜x1＜x2)，证明：x1＋x2＞2. 解：(1)因为f′(x)＝－，且切线与直线x－y＝0平行，可得f′(1)＝n－1＝1，所以n＝2； (2)证明：当n＝1时，f(x)＝m－－ln x， 由题意知， ②－①得：ln x2－ln x1＝， 即ln＝.③ 令t＝，则x2＝tx1，且t＞1， 又因为x1＋x2＝x1＋tx1＝(1＋t)x1，由③知： ln t＝， 所以x1＝(t＞1)． 要证x1＋x2＞2， 只需证(1＋t)＞2， 即证＞2ln t， 即t－－2ln t＞0. 令h(t)＝t－－2ln t(t＞1)，则h′(t)＝＞0， 所以h(t)在(1，＋∞)上单调递增且h(1)＝0， 所以当t∈(1，＋∞)时，h(t)＞0， 即x1＋x2＞2. 2．(2023·乐山市一模)已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－aln x(a∈R)． (1)求函数y＝f(x)的单调区间； (2)当a＝1时，证明：对任意的x＞0，f(x)＋ex＞x2＋x＋2. 解：(1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝2x－(a－2)－＝. 当a≤0时，f′(x)＞0对任意x∈(0，＋∞)恒成立， 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增； 当a＞0时，由f′(x)＞0得x＞，由f′(x)＜0，得0＜x＜，所以函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减． 综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无减区间；当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)当a＝1时，f(x)＝x2＋x－ln x， 要证明f(x)＋ex＞x2＋x＋2，只需证明ex－ln x－2＞0， 设g(x)＝ex－ln x－2，则问题转化为证明对任意的x＞0，g(x)＞0，令g′(x)＝ex－＝0，得ex＝， 易知方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足ex0＝， 当x变化时，g′(x)和g(x)变化情况如下表： x (0，x0) x0 (x0，＋∞) g′(x) － 0 ＋ g(x) 递减 极小值 递增 g(x)min＝g(x0)＝ex0－ln x0－2＝＋x0－2， 因为x0＞0，且x0≠1，所以g(x)min＞2－2＝0， 因此不等式得证． 3．(2023·岳阳市一模)已知函数f(x)＝ax2＋ln x＋2. (1)若a∈R，讨论函数f(x)的单调性； (2)曲线g(x)＝f(x)－ax2与直线l交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其中x1＜x2，若直线l斜率为k，求证：x1<<x2. 解：(1)f′(x)＝2ax＋＝(x＞0)， a≥0时，恒有f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， a＜0时，令f′(x)＞0，即2ax2＋1＞0，解得0＜x＜，令f′(x)＜0，即2ax2＋1＜0，解得x＞ . 综上，a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， a＜0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减； (2)证明：k＝＝， 要证x1<<x2，即证x1<<x2， 等价于1<<，令t＝，则t>1， 只需证1<<t， 由t＞1知ln t＞0，故等价于ln t＜t－1＜tln t， 设φ(t)＝t－1－ln t，则φ′(t)＝1－>0， 所以φ(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以φ(t)＞φ(1)＝0，即t－1＞ln t. 又设h(t)＝tln t－(t－1)，则h′(t)＝ln t＞0， 所以h(t)在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(t)＞h(1)＝0，即tln t＞t－1， 故x1<<x2. 4．(2022·浙江卷，22)设函数f(x)＝＋ln x(x＞0)． (1)求f(x)的单调区间； (2)已知a，b∈R，曲线y＝f(x)上不同的三点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，(x3，f(x3))处的切线都经过点(a，b)．证明： ①若a＞e，则0＜b－f(a)＜； ②若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则＋＜＋＜－.(注：e＝2.71828…是自然对数的底数) 解：(1)因为f(x)＝＋ln x，所以f′(x)＝－＋＝，因此，当x＞时，f′(x)＞0；0＜x＜时，f′(x)＜0.所以f(x)在区间上单调递减；在区间上单调递增． (2)①设过点(a，b)的直线与函数f(x)图象相切时的切点为，则切线方程为l：y－－ln x0＝f′(x0)(x－x0)，其中f′(x0)＝－＋，所以切线l的方程为x－y＋＋ln x0－1