第2章 第11节 利用导数研究函数的单调性-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第11节　利用导数研究函数的单调性 [基础训练组] 1．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(　　) A．(－∞，0)　　　　　　 B．(0，＋∞) C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1) 解析：D　[y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝ex(－x2－2x＋3)， 由y′>0⇒x2＋2x－3<0⇒－3<x<1，∴函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(－3,1)．故选D.] 2．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．] 3．(2023·宣城市一模)若函数f(x)＝x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为(　　 ) A．－1≤a≤2 B．－2≤a≤1 C．a＞2或a＜－1 D．a＞1或a＜－2 解析：D　[若函数f(x)有3个单调区间， 则f′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点， 故Δ＝16a2－16(a－2)＞0，解得a＞1或a＜－2，故选D.] 4．(2023·沙坪坝区模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)＜，则对任意x1、x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，下列不等式中一定成立的有(　　) ①f(x1＋x2)＜f(x1)＋f(x2)； ②f(x1)＋f(x2)＜f(x1)＋f(x2)； ③f(2x1)＜2x1f(1)； ④f(x1x2)＜f(x1)f(x2)． A．①②③ B．②④ C．②③ D．③ 解析：A　[由已知g(x)＝，则g′(x)＝＜0， 故g(x)在(0，＋∞)单调递减， 故(x1－x2)[g(x1)－g(x2)]＜0，展开即为②； 由于2x1＞1，故g(2x1)＜g(1)，故③正确； 由于x1＋x2＞x1⇒g(x1＋x2)＜g(x1)⇒f(x1＋x2)＜f(x1)， 同理f(x1＋x2)＜f(x2)，相加得f(x1＋x2)＜f(x1)＋f(x2)，故①正确； 取f(x)＝1，它符合题意，但是④并不成立，综上一定成立的有①②③，故选A.] 5．(多选)(2023·山东省高三二模)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，xf′(x)－f(x)＝xln x，且f＝，则(　　) A．f′＝0 B．f(x)在x＝处取得极大值 C．0＜f(1)＜1 D．f(x)在(0，＋∞)单调递增 解析：ACD　[∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，xf′(x)－f(x)＝xln x， 即满足＝. ∵′＝，∴′＝ ∴可设＝ln2x＋b(b为常数)， ∴f(x)＝xln2x＋bx. ∵f＝·ln2＋＝，解得b＝， ∴f(x)＝xln2x＋x， ∴f(1)＝，满足0＜f(1)＜1，∴C正确； ∵f′(x)＝ln2 x＋ln x＋＝(ln x＋1)2≥0，且仅有f′＝0 ∴B错误，A、D正确．故选A、C、D.] 6．(2022·新高考Ⅰ卷，7)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 解析：C　[令a＝xex，b＝，c＝－ln(1－x)， ①ln a－ln b＝x＋ln x－[ln x－ln(1－x)]＝x＋ln(1－x)， 令y＝x＋ln(1－x)，x∈(0,0.1]；y′＝1－＝<0， 所以y≤0，所以ln a－ln b≤0，所以b>a. ②a－c＝y＝xex＋ln(1－x)，x∈(0,0.1]，令y＝xex＋ln(1－x)， 则y′＝xex＋ex－＝， 令k(x)＝(1＋x)(1－x)ex－1，所以k′(x)＝(1－x2－2x)ex>0， 所以k(x)>k(0)>0，所以y>0， 所以a－c>0，所以a>c.综上b＞a＞c.] 7．(2023·呼和浩特市一模)若函数f(x)＝ln x＋ax2－2x在区间(1,2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是　______　. 解析：f′(x)＝＋2ax－2， 若f(x)在区间(1,2)内存在单调递增区间， 则f′(x)＞0在x∈(1,2)有解，故a＞－， 令g(x)＝－，∵g(x)在(1,2)为减函数， ∴g(x)＞g(2)＝－＝，故a＞. 答案： 8．函数f(x)＝的单调递增区间是　________　. 解析：由导函数 f′(x)＝＝ ＞0，得cos x＞－，所以2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)，即函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)． 答案：(k∈Z) 9．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在