第2章 第6节 指数函数、对数函数的关系与幂函数-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第6节　指数函数、对数函数的关系与幂函数 [基础训练组] 1．(2023·呼和浩特市一模)已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图像上，则函数f(x)是(　　 ) A．定义域内的减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．定义域内的增函数 解析：B　[∵点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图像上，∴a－1＝1，解得a＝2，∴2b＝，解得b＝－3， ∴f(x)＝x－3，∴函数f(x)是定义域上的奇函数，且在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数．] 2．(2023·唐山市一模)已知a＝3－，b＝2－，c＝ln 3，则(　　 ) A．a＜c＜b　　　　　 B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c 解析：D　[∵a＝3－，b＝2－＝4－，又y＝x－在(0，＋∞)上单调递减． ∴b＜a＜1，又c＝ln 3＞1，则b＜a＜c，故选D.] 3．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1 解析：D　[幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图像上凸，∴0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图像可得2－1<2n，∴－1<n<0，综上所述，故选D.] 4．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的图像过点(2,1)，其反函数图像过点(2,8)，则a＋b等于(　　) A．6　　 B．5　　 C．4　　 D．3 解析：C　[由题意，知f(x)＝loga(x＋b)的图像过点(2,1)和(8,2)，所以所以解得所以a＋b＝4.] 5．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图像可能是(　　) 解析：C　[当a<0时，函数y＝ax－是减函数，且在y轴上的截距－>0，y＝xa在(0，＋∞)上是减函数， ∴A，B，C，D项均不正确．若a>0，则y＝ax－是增函数，截距－<0，y＝xa在(0，＋∞)上是增函数，∴只有C可能正确．故选C.] 6．(2023·济宁二模)放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设初始质量为M0，质量M与时间t(单位：天)的函数关系为M＝M0·(其中h为常数)，若锶89的半衰期(质量衰减一半所用的时间)约为50天，那么锶89的质量从M0衰减至0.66M0所经过的时间约为(参考数据：log20.66≈－0.6)(　　) A．10天 B．20天 C．30天 C．40天 解析：C　[依题意，M＝M0·，且当M＝时，t＝50，所以＝M0·，得h＝50，所以M＝M0·.由0.66M0＝M0·，得0.66＝2－，即－＝log20.66≈－0.6，解得t≈30，所以锶89的质量从M0衰减至0.66M0所经过的时间约为30天，故选C.] 7．若a＝，b＝，c＝(－2)3，则a、b、c的大小关系为　________　. 解析：因为y＝x在(0，＋∞)上为增函数． 所以＞，即a＞b＞0.而c＝(－2)3＝－23＜0，所以a＞b＞c. 答案：a＞b＞c 8．已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，且g(x)的图像过定点(1，2 021)，则y＝f－1(x＋1)的图像过定点　________　. 解析：∵g(x)的图像过定点(1,2 021)， ∴f(x＋1)的图像过定点(2 021,1)． 又∵f(x)的图像可以看作由f(x＋1)的图像向右平移一个单位长度得到的， ∴f(x)过定点(2 022,1)． 又∵f(x)与f－1(x)互为反函数，∴f－1(x)的图像过定点(1,2 022)． 再结合f－1(x)与f－1(x＋1)的关系可知， f－1(x＋1)的图像过定点(0,2 022)． 答案：(0,2 022) 9．已知函数f(x)＝y＝x在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝　________　. 解析：取值验证．当α＝1时，y＝x0，不满足；当α＝2时，y＝x－在(0，＋∞)上是减函数．因为它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；当α＝3时，y＝x－满足题意． 答案：3 10．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N＋)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围． 解：(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N＋，而m与m＋1中必有一个为偶数，所以m(m＋1)为偶数．所以函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N＋)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． (2)因为函数f(x)经过点(2，)，