第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第3节　函数的奇偶性与周期性 [基础训练组] 1．(2023·呼和浩特市一模)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递减的函数是(　　 ) A．y＝－x3　　　　 B．y＝2|x| C．y＝x－2 D．y＝log3(－x) 解析：B　[选项A，函数是奇函数，不满足条件；选项B，函数是偶函数，当x＜0时，y＝2|x|＝2－x＝x是减函数，满足条件；选项C，函数是偶函数，当x＜0时，y＝x－2＝是增函数，不满足条件；选项D，函数的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足条件．故选B.] 2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)＝(　　) A．1 B．2 C．－1 D．0 解析：A　[因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，又函数f(x)是奇函数，所以f(x)＝f(2－x)＝－f(x＋2)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－f(－f(x))＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．又f(1)＝1，所以f(1)＝f(－3)＝－f(3)，所以f(3)＝－1，f(2)＝f(2－4)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0.因为函数f(x)是奇函数，且定义域为R，所以f(0)＝0，所以f(4)＝f(0)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，因为函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(n)＋f(n＋1)＋f(n＋2)＋f(n＋3)＝0，n∈N＋，又2 021＝4×505＋1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 2021)＝f(1)＝1.] 3．(2023·保定市一模)已知函数f(x)＝设g(x)＝，则g(x)是(　　) A．奇函数，在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递增 B．奇函数，在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递减 C．偶函数，在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递增 D．偶函数，在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递减 解析：B　[根据题意，g(x)＝＝其定义域关于原点对称． 设x＞0，则－x＜0，g(－x)＝－＝－＝－g(x)；设x＜0，则－x＞0，g(－x)＝＝＝－g(x)，故g(x)为奇函数．又g(x)＝＝x－2在区间(0，＋∞)上递减，则g(x)在(－∞，0)上也递减．故选B.] 4．(2022·全国乙卷，12)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图像关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则f(k)＝(　　) A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 解析：D　[若y＝g(x)的图像关于直线x＝2对称，则g(2－x)＝g(2＋x)，因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(－x)＋g(2＋x)＝5，故f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．由g(2)＝4，f(0)＋g(2)＝5，得f(0)＝1.由g(x)－f(x－4)＝7，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5，得f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(x)关于点(－1，－1)中心对称，所以f(1)＝ f(－1)＝－1.由f(x)＋f(－x－2)＝－2， f(－x)＝f(x)，得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，故f(x＋4)＝f(x)，f(x)周期为4.由f(0)＋f(2)＝－2，得f(2)＝－3， 又f(3)＝f(－1)＝f(1)＝－1，所以 f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝11×(－1)＋5×1＋6×(－3)＝－24.] 5．(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)是以2为周期的周期函数 B．函数f(x)是以4为周期的周期函数 C．函数f(x＋2)为偶函数 D．函数f(x－3)为偶函数 解析：BC　[偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，即有f(－x)＝f(x)＝－f(2－x)，即为f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可得f(x)的最小正周期为4，故A错误，B正确；由f(x)＋f(2－x)＝0，可得f(－x)＋f(2＋x)＝0，两式相减得f(2－x)－f(2＋x)＝0，故f(2－x)＝f(2＋x)，∴f(x＋2)为偶函数，故C正确；由f(x)为偶函数得f(－x－3)＝f(x＋3)，若f(x－3)为偶函数，则有f(－x－3)＝f(x－3)，可得f(x＋3)＝f(x－3)，即f(x＋6)＝f(x)，可得6为f(x)的周期，这与4为最小正周期矛盾，故D错误．故选BC.]