第1章 第7节 均值不等式及其应用-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第7节　均值不等式及其应用 [基础训练组] 1．(多选)下列命题不正确的是(　　 ) A．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x＋≥4 B．若a<0，则a＋≥－4 C．若a>0，b>0，则lg a＋lg b≥2 D．若x＞0，y＞0，则 ≥ 解析：ABC　[当sin2x＝1时，1＋1＝2<4，所以A不正确；若a<0，则a＋≤－4，B不正确；因为lg a，lg b可以小于零，C不正确；若x＞0，y＞0，则(x2＋y2)(x＋y)2≥2xy·4xy＝8x2y2，化为 ≥，当且仅当x＝y＞0时取等号，D正确．] 2．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A.　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：B　[∵0<x<1，∴1－x>0. ∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝. 当x＝1－x，即x＝时取等号．] 3．(2023·广东模拟)已知正实数x，y满足x＋＋y＋＝5，则x＋y的最小值与最大值的和为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：B　[因为正实数x、y满足x＋＋y＋＝5，所以(x＋y)＝5(x＋y)，所以5(x＋y)＝(x＋y)2＋＋＋2≥(x＋y)2＋4，当且仅当x＝y时等号成立，所以(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，解得1≤x＋y≤4，所以x＋y的最小值与最大值的和为5.故选B.] 4．(多选)下列四个函数中，最小值为2的是(　　) A．y＝sin x＋ B．y＝ln x＋ C．y＝ D．y＝4x＋4－x 解析：AD　[对于A，因为0<x≤，所以0<sin x≤1，y＝sin x＋≥2，当且仅当sin x＝，即sin x＝1时取等号，符合题意；对于B，当0<x<1时，ln x<0，此时y＝ln x＋为负值，最小值不是2，不符合题意；对于C，y＝＝＋，设t＝，则t≥ ，则y≥ ＋＝，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝0时取等号，其最小值为2，符合题意．故选AD.] 5．(2023·宿州一模)若圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0关于直线l：ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最小值为(　　 ) A．1 B．5 C．4 D．4 解析：D　[圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的圆心为(2,1)， 圆C关于直线l：ax＋by＝2对称，∴圆心在l上， ∴2a＋b＝2，∴a＋＝1.又a＞0，b＞0， ∴＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，∴＋的最小值为4.] 6．(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是(　　) A.有最大值 B.＋有最小值4 C.＋有最大值 D．a2＋b2有最小值 解析：ABC　[由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，∴≤，∴ab≤，＋＝＝≥4，因此有最大值，＋有最小值4；(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋1＝2，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，所以＋有最大值，a2＋b2有最小值，故选ABC.] 7．若函数f(x)＝(a<2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a的值为　________　. 解析：由题意得f(x)＝ ＝＝2(x－1)＋＋4≥2＋4＝2＋4，当且仅当2(x－1)＝，即x＝1＋时，等号成立，所以2＋4＝6，即a＝. 答案： 8．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为　________　. 解析：因为x＞1，所以x－1＞0.又x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以a的最大值为3. 答案：3 9．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是　________　. 解析：＝－＝(a－1,1)， ＝－＝(－b－1,2)，∵A，B，C三点共线，∴与共线， ∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1. ∵a＞0，b＞0，∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋4＝8，当且仅当＝，即b＝2a＝时等号成立． 答案：8 10．已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)． (1)求xy的最小值； (2)求x＋y的最小值． 解：由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1) 得 (1)∵x＞0，y＞0， ∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1， ∴3xy－2－1≥0， 即3()2－2－1≥0， ∴(3＋1)(－1)≥0， ∴≥1，∴xy≥1， 当且仅当x＝y＝1时，等号成立． ∴xy的最小值为1. (2)∵x＞0，y＞0， ∴x＋y＋1＝3xy≤3·2， ∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0， ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0， ∴x＋y≥2， 当且仅当x＝y＝1时取等号， ∴x＋y的最小值为2. [能力提升组] 11．(2023·