8.2立体图形的直观图（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

8.2立体图形的直观图 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：斜二测画法辨析 必会题型二：斜二测法画图形的直观图 必会题型三：由直观图还原几何图形 必会题型四：斜二测法中有关量的计算 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 直观图 1．直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形． 2．立体图形的直观图 画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示．因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同．在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形． 斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． 必会知识二 水平放置的平面图形的直观图画法 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤： (1)在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点．画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点，且使(或，它们确定的平面表示水平面． (2)已知图形中平行于轴(或轴)的线段，在直观图中分别画成平行于轴(或轴)的线段． (3)已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半． (4)擦去作为辅助线的坐标轴，就得到原图形的直观图． 【名师点睛】(1)用斜二测画法画直观图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中对应画出． (2)用斜二测画法得到的直观图：(1)平行的线段仍然平行；(2)平行于轴的线段平行于轴，平行于轴的线段平行于轴； (3)平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度变为原来的一半，可简记为“横不变，纵减半”． 必会知识三 立体图形的直观图画法 1．画多面体的直观图 (1)画轴．画轴、轴、轴，三轴交于点，使，． (2)画底面．这时使用平面图形的斜二测画法即可． (3)画侧棱．平行于轴的侧棱长度不变且依然与轴平行． (4)连线成图，并擦去辅助线，将被遮挡的线用虚线表示． 【名师点睛】(1)画立体图形的直观图的思路是将其转化为画平面图形的直观图． (2)在要求不太严格的情况下，画立体图形的直观图时，长度和角度可灵活选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示． (3)画图时要紧紧把握：一斜——在已知图形中垂直于轴的线段，在直观图中与轴成或角；二测——两种量度形式，即在直观图中，平行于轴轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度变为原来的一半． (4)斜二测画法保持了原图形的平行性、共线性和平行线段的长度比． 2．画旋转体的直观图 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．画圆的直观图一般不用斜二测画法，而用正等测画法，这样得到的圆的直观图是椭圆．由于画圆的直观图比较复杂，因此实际画圆的直观图时，通常使用不同尺寸的椭圆模板． (1)对于圆柱，画出底面圆的直观图后再画母线，将底面向上平移即可． (2)对于圆锥，画出底面圆的直观图后，再画圆锥的高，作出对应母线即可． (3)对于圆台，画出底面圆的直观图后，再画两条母线，将底面向上平移并逐渐缩小即可． 必会知识四 由直观图还原平面图形 (1)将直观图还原成平面图形的过程是由平面图形画直观图的逆过程．解决这类问题要注意画法步骤中有关规则的逆向转换，如：直观图中轴与轴的夹角为或，还原为平面图形时，则需还原成，还原与轴平行的线段时长度应为原线段长的2倍，且保持与轴平行． (2)由于斜二测画法中平行于轴的线段在直观图中长度不变，而平行于轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜，因此直观图中任何一点距轴的距离都为原图中相应点距轴距离的． 必会知识五 平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，有． 如图8-2-3(1)(2)，， 它的直观图面积． (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系： ． 平面多边形可分割成若干个三角形，记其面积分别为，，且这若干个三角形的直观图的面积分别为 故．积为，则有． 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：斜二测画法辨析 1．（2023·全国·高一专题练习）关于斜二测画法，下列说法错误的是（    ） A．平行直线的直观图仍然是平行直线 B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线 C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的 D．线段的中点在直观图中仍然是中点 2．（2023·全国·高一专题练习）对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述错误的是（    ） A．三角形的直观图仍然是一个三角形 B．的角的直观图会变为的角 C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半 D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 3．（2023·全国·高一专题练习）利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图