专题16 相关性及回归分析模型-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版）

专题16 相关性及回归分析模型 1.变量的相关关系 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度 正相关与负相关 如果从整体上看， 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，则称这两个变量正相关； 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关 线性相关 如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关 非线性相关 如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关 2.样本相关系数 ①样本相关系数r的计算公式：. ②样本相关系数r的性质： 当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关 |r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于0，表明两个变量的线性相关性越弱. 通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系 3.一元线性回归模型 ①最小二乘法：即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小． 若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程中，. 其中，称为样本点的中心． ②线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量 4.判断回归模型的拟合效果 方法 决定系数法 残差图 残差平方和 公式 称为相应于点的残差， 刻画效果 越接近于1，表示回归的效果越好 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高. 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 考点一 变量间的相关关系 考点二 线性回归方程 1.过样本中心 2.求线性回归方程 考点三 非线性回归方程 考点四 误差分析 1.残差的计算 2.相关指数的计算 考点一 变量间的相关关系 例1．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）如图是近十年来全国城镇人口､乡村人口随年份变化的折线图（数据来自国家统计局）.根据该折线图判断近十年的情况，下列说法错误的是（    ） A．城镇人口与年份成正相关 B．乡村人口与年份的样本相关系数接近1 C．城镇人口逐年增长量大致相同 D．可预测乡村人口仍呈下降趋势 【答案】B 【分析】根据折线图可分析城镇人口与年份的关系可判断A，根据相关系数的概念可判断B，根据折线图趋势可判断C,D. 【详解】对于A选项，由折线图可知，城镇人口与年份成正相关，A正确； 对于B选项，因为乡村人口与年份成负线性相关关系，且线性相关性很强， 所以接近B错误； 对于C选项，城镇人口与年份成正相关，且线性相关性很强， 设线性经验回归方程为， 当时，， 故城镇人口逐年增长量大致相同，C正确； 对于D选项，乡村人口与年份成负线性相关关系， 可预测乡村人口仍呈现下降趋势，D正确. 故选:B. 例2．（2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）在变量与x的回归模型中，根据下面四个的相关系数，判断拟合效果最好的是（    ） A．模型1的相关系数为0.2 B．模型2的相关系数为0.3 C．模型3的相关系数为0.9 D．模型4的相关系数为0.8 【答案】C 【分析】由相关系数的绝对值越接近于1，回归模型拟合效果越好即可得出结论. 【详解】根据相关系数的绝对值大小可得模型3的相关系数为0.9，离1最接近， 所以C项的拟合效果最好． 故选：C 例3．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）为打造“四态融合、产村一体”，望山、见水、忆乡愁的美丽乡村，增加农民收入，某乡政府统计了景区农家乐在2012年-2018年中任选年的接待游客人数（单位：万人）的数据，结果如下表： 年份 年份代号 接待游客人数（单位：万人） (1)根据数据说明变量，是正相关还是负相关； (2)求相关系数的值，并说明年份与接待游客人数之间线性关系的强弱．（值精确到） 附：线性回归方程的斜率的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，一般地，当的绝对值大于时，认为两个变量之间有较强的线性相关程度． 参考数据：，，，． 【答案】(1)正相关 (2)，年份与接待游客人数之间有较强的线性相关程度 【分析】（1）利用最小二乘法计算，即可判断变量与是正相关； （2）利用最小二乘法计算，进而判断相关性的强弱. 【详解】（1）由题中数据可得，，， 则， 变量的值随着的值增加而增加， 故与之间是正相关； （2）由已知得，           故年份与接待游客人数之间有较强的线性相关程度． 例4．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）一般来说，市场上产品的宣传费用与产品的