专题15 正态分布-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版）

专题15 正态分布 1.正态分布 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 2.正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 3.三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ①；； . ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 考点一 正态密度曲线 1.正态密度函数的认识 2.正态密度曲线的性质 考点二 正态分布的概率 1.求指定区间的概率 2.求特殊区间的概率 考点三 根据对称性求参数 考点四 标准的正态分布的应用 考点五 正态分布的实际应用 考点一 正态密度曲线 1.正态密度函数的认识 例1．（2023·全国·高二专题练习）在一次调研测试后，经统计发现数学成绩服从正态分布，其密度函数，x∈R，则下列结论中正确的是_________．（写出所有满足要求的结论序号） ①这次测试的数学平均成绩为100； ②分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同； ③分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同； ④这次测试的数学成绩的方差为10． 【答案】①③ 【分析】根据题意可得：，根据正态分布的性质逐项分析判断. 【详解】由题意可得：，其中，即正态分布的对称轴为， 对①：这次测试的数学平均成绩为100，①正确； 对②：分数在120分以上的人数与分数在80分以下的人数相同，②错误； 对③：分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同，③正确； 对④：这次测试的数学成绩的方差为100，④错误． 故答案为：①③. 例2．（2023·全国·高二专题练习）设随机变量，X的正态密度函数为，则______. 【答案】0 【分析】由正态密度函数结构直接可得. 【详解】由正态密度函数结构特征可知，. 故答案为：0 例3．（2021·高二课时练习）如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差． 【答案】f(x)＝，，μ＝20，σ2＝2. 【分析】由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义即可求解. 【详解】解：由图可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20， 由，解得σ＝， 所以该正态分布密度函数的解析式是f(x)＝，， 随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2. 例4．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）如图，若一个随机变量X服从某正态分布，且已知函数的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望______________，方差______________． 【答案】     5     1 【分析】利用正态分布密度曲线求得即可求期望和方差. 【详解】由图可知，当时，有最大值为， 所以， 所以，所以，， 故答案为:5;1. 2.正态密度曲线的性质 例5．（2023·高二单元测试）设，，这两个正态分布曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数t， D．对任意正数t， 【答案】C 【分析】直接由正态密度曲线得到，，再依次判断4个选项即可. 【详解】由图象可知：，所以，A错误； 的正态密度曲线较的“瘦高”，故，所以，B错误； 由图象知，对任意正数t，，，C正确，D错误. 故选：C. 例6．（2023春·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考阶段练习）已知随机变量服从正态分布，则与的值分别为（    ） A．13  18 B．13   6 C．7   18 D．7    6 【答案】C 【分析】根据正态分布中的参数含义，结合均值和方差的性质即可求解. 【详解】由随机变量服从正态分布可知,所以 故选:C 例7．（2023春·重庆·高三重庆市长寿中学校校考期末）已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题： 甲：； 乙：； 丙：； 丁： 如果只有一个假命题，则该命题为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据正态曲线的对称性可判定乙､丙一定都