专题14 二项分布和超几何分布-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版）

专题14 二项分布和超几何分布 1.n次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2.二项分布 ①定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ②均值和方差： 3.超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． ②均值： 4.二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 考点一 n次独立重复试验 考点二 二项分布 1.求二项分布的概率 2.二项分布的均值和方差 考点三 超几何分布 考点四 二项分布和超几何分布 考点一 n次独立重复试验 例1．（2023春·江西·高二校联考阶段练习）现有3个小组，每组3人，每人投篮1次，投中的概率均为，若1个小组中至少有1人投中，则称该组为“成功组”，则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用独立重复试验计算概率即可. 【详解】1个小组是“成功组”的概率为, 则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为. 故选：B． 例2．（2021春·陕西商洛·高二校考期中）围棋起源于中国，古代称“弈”，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军（没有平局），比赛结束.假设每局比赛乙胜甲的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则甲以获得冠军的概率为______. 【答案】 【分析】四局比赛甲以获得冠军，则前三局甲胜两局，败一局，第四局甲胜，进一步计算概率即可. 【详解】若四局比赛甲以获得冠军，则前三局甲胜两局，败一局，第四局甲胜， 概率为：. 故答案为：. 例3．（2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测）已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或向负方向移动一个单位.若移动n次，则当时，质子位于原点的概率为______. 【答案】 【分析】事件n＝6时质子位于原点等价于事件前6次移动中有且只有3次向左移动，然后根据独立重复试验的概率公式可得答案. 【详解】第n次移动时向左移动的概率为， 事件n＝6时质子位于原点等价于事件前6次移动中有且只有3次向左移动， 所以事件n＝6时质子位于原点的概率为, 故答案为：. 例4．（2023春·北京·高二北京市第一六一中学校考阶段练习）投篮测试中，每人投篮3次，已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学恰好投中2次的概率为______. 【答案】 【分析】根据题意，直接代入计算即可得到结果. 【详解】由题意可得，该同学恰好投中2次的概率为. 故答案为: 例5．（2022秋·湖北宜昌·高二当阳一中校考阶段练习）10月9日晚，2022年世界乒乓球团体锦标赛在中国成都落幕.中国队女团与男团分别完成了五连冠与十连冠的霸业.乒乓球运动在我国一直有着光荣历史，始终领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相对独立. (1)求这场选拔赛三局结束的概率； (2)求甲在第四局获胜的概率. 【答案】(1)0.28 (2)0.2592 【分析】(1)根据题意，找出这场选拔赛三局结束的事件，利用概率公式即可求解； (2)先找出满足条件的事件，然后利用概率公式即可求解. 【详解】（1）设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件（i，，2，3，4，5）， 记“三局结束比赛”，则， ∴ ； （2）记“甲在第四局获胜”，则说明甲在前3局胜了2局，输了1局，第4局甲胜，则. 考点二 二项分布 1.求二项分布的概率 例6．（2023秋·辽宁·高二校联考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布的知识求得正确答