第二部分 高中物理涉及到的数学知识-【赢在起点】2023初高中衔接教材物理

一、锐角三角函数 (一)锐角三角函数的定义 1.直角三角形的三条边 如图所示,在直用三角形△ABC 中, ∠C是直角.则AC、BC叫作直角边,AB 叫 作斜边.∠A、∠B 都是锐角.对于∠A 来 说,AC 叫作∠A 的邻边,BC 叫作∠A 的 对边. 2.锐角三角函数 初中几何课本中给出锐角三角函数的 定义,是依据这样一个基本事实:在直角三 角形中,当锐角固定时,它的对边、邻边与 斜边的比值是一个固定的值. 关于这点,我们看下图,图中的直角三 角形AB1C1,AB2C2,AB3C3,…都有一个相 等的锐角A,即锐角A 取一个固定值.如图 所示,许许多多直角三角形中相等的那个 锐角叠合在一起,并使一条直角边落在同 一条直线上,那么斜边必然都落在另一条 直线上. 不难看出: B1C1∥B2C2∥B3C3∥…, △AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…, B1C1 AB1 = B2C2 AB2 = B3C3 AB3 … 因此,在这些直角三角形中,∠A 的对 边与斜边的比值是一个固定的值. 根据同样道理,由“相似形”知识可以 知道,在这些直角三角形中,∠A 的对边与 邻边的比值,∠A 的邻边与斜边的比值都 分别是某个固定的值. 这样,在△ABC 中,∠C 为直角,我们 把锐角A 的对边与斜边的比叫作∠A 的正 弦,记作sinA;锐角A 邻边与斜边的比叫作 ∠A的余弦,记作cosA;锐角A 的对边与邻 边的比叫作∠A 的正切,记作tanA;锐角 A 的邻边与对边的比叫作∠A 的余切,记 作cotA,于是我们得到锐角A 的四个锐角 三角函数. 三角函数定义如下: 设∠A=α,并令AC=x,BC=y,AB= r,则α的四个三角函数值定义为: ∠A 的正弦sinα=BCAB= y r ∠A 的余弦cosα=ACAB= x r ∠A 的正切tanα=BCAC= y x ∠A 的余切cotα=ACBC= x y ∠A 的正弦、余弦、正切、余切统称为 三角函数(高中数学还将会学到其它的三 角函数名称). (二)锐角三角函数的主要性质 1.三角函数值只是一个比值,由角的 大小唯一确定,与直角三角形的边长无关. 2.sinα、cosα、tanα、cotα均为正值. 3.当0<α<90°时,正弦与正切函数为 增函数;余弦与余切函数为减函数. 4.对于同一个角α,存在如下的关系: ①平方和关系: sin2α+cos2α= yr 2 + xr 2 =y 2+x2 r2 = r2 r2 =1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —3— 初升高知识衔接·物理 ②比例的关系: sinα cosα= y r x r =yx=tanα ,cosα sinα= x r y r =xy =cotα ③倒数关系: tanα= 1cotα ; cotα= 1tanα ; 所以tanα×cotα=1 5.若α、β互为余角,则有: sinα=cosβ,cosα=sinβ, tanα=cotβ,cotα=tanβ 6.互补角和互余角关系式 (1)sin(180°-θ)=sinθ; cos(180°-θ)=-cosθ; tan(180°-θ)=-tanθ; cot(180°-θ)=-cotθ; (2)sin(90°-θ)=cosθ; cos(90°-θ)=sinθ; tan(90°-θ)=cotθ; cot(90°-θ)=tanθ; (三)0~90°之间的特殊角的各三角函 数值 高中物理计算中经常用到0、30°、37°、 45°、53°、60°、90°的角的三角函数的值.现把 这些值列在下面的表格中,这些值都是要 求记忆的.其它角度的三角函数的值可以 查数学用表或用计算器来算. 函数 角度 正弦(sin)余弦(cos)正切(tan)余切(cot) 0 0 1 0 不存在 30° 12 3 2 3 3 3 37° 35 4 5 3 4 4 3 45° 2 2 2 2 1 1 53° 45 3 5 4 3 3 4 60° 3 2 1 2 3 3 3 90° 1 0 不存在 0 二、高中物理计算涉及到的数学公式 1.绝对值 (1)绝对值的代数意义: 正数的绝对值是它的本