考点18 解直角三角形-备战2023年中考数学必考知识梳理与题型归纳突破（全国通用）

考点18 解直角三角形 该板块主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数，尤其是应用主要在综合题中考查，是考查重点，每年都有一道三角函数的综合题，看似考查解题的综合能力，实质是基本的定义和应用.有时比较简单，有时难点较大不易得分，分值为12分左右。预计2023年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键。 1、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 2、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 3、解直角三角形 1）在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2）解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：1）三边关系：a2+b2=c2； 2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cos2A=1． 3）科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 4、解直角三角形的应用 1）仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2）坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3)方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角． 4）．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型： 解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解. 5）．解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； （2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 考向1 三角函数的定义 1）分清直角三角形中的斜边与直角边. 2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k． 3）正确应用勾股定理求第三边长． 4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值． 1．（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝_____． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义即可得到cosB＝sinA＝． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵sinA＝＝，∴cosB＝＝．故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB．熟知相关定义是解题关键． 2．（2022·青海西宁·统考中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，则cosA=________． 【答案】## 【分析】根据勾股定理求出斜边AB的值，在利用余弦的定义直接计算即可． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=1，BC=， ∴AB=，∴cosA=，故答案为：． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义． 1．（2022·江苏扬州·中考真题）在中，，分别为的对边，若，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：如图所示： 在中，由勾股定理可知：，，， ， ，，，即：， 求出或（舍去）， 在中：，故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中， ，，． 2．（2022·山东滨州·中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA=______. 【答案】 【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数