专题一 微重点4 函数的公切线问题-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏

微重点4　函数的公切线问题 导数中的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养． 考点一　求两函数的公切线 例1　(2022·湘潭模拟)已知直线l是曲线y＝ex－1与y＝ln x＋1的公共切线，则l的方程为__________． 答案　y＝ex－1或y＝x 解析　设直线l与曲线y＝ex－1相切于点P(a，ea－1)，与曲线y＝ln x＋1相切于点Q(b，ln b＋1)， 则ea＝＝， 整理得(a－1)(ea－1)＝0， 解得a＝1或a＝0， 当a＝1时，l的方程为y＝ex－1； 当a＝0时，l的方程为y＝x. 规律方法　求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 跟踪演练1　已知函数f(x)＝x2－2m，g(x)＝3ln x－x，若y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m＝________，该切线方程为________． 答案　1　2x－y－3＝0 解析　设函数f(x)＝x2－2m与g(x)＝3ln x－x的公共点为(x0，y0)， f′(x)＝2x，g′(x)＝－1， 则 即 解得x0＝m＝1， ∴f′(x0)＝2，f(x0)＝－1， 切线方程为y＋1＝2(x－1)，即2x－y－3＝0. 考点二　与公切线有关的求值问题 例2　(2022·河南省百校大联考)已知f(x)＝＋ln x与g(x)＝2x－x3＋c的图象有一条公切线，则c＝________. 答案　－ 解析　因为f(x)＝＋ln x， g(x)＝2x－x3＋c， 所以f′(x)＝x＋≥2(x>0)， g′(x)＝2－3x2≤2， 所以公切线的斜率为2，与f(x)的图象相切于点，与g(x)的图象相切于点(0，c)， 故＝2，即c＝－. 规律方法　利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程． 跟踪演练2　(2022·湖北省新高考联考协作体联考)若存在过点(0，－2)的直线与曲线y＝x3和曲线y＝x2－x＋a都相切，则实数a的值是(　　) A．2 B．1 C．0 D．－2 答案　A 解析　y＝x3的导函数为y′＝3x2，y＝x2－x＋a的导函数为y′＝2x－1，若直线与y＝x3和y＝x2－x＋a的切点分别为(x1，x)，(x2，x－x2＋a)， ∴过点(0，－2)且与两曲线相切的直线为y＝3xx－2，y＝(2x2－1)x－2， 则有可得 考点三　判断公切线条数 例3　(2022·菏泽质检)若直线l与曲线y＝ex和y＝ln x都相切，则满足条件的直线l有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 答案　C 解析　设直线l与曲线y＝ex相切于点(x1，)，y′＝ex， ∴直线l的方程为y－＝(x－x1)， 即y＝·x－x1＋. 设直线l与曲线y＝ln x相切于点(x2，ln x2)， y′＝， ∴直线l的方程为y－ln x2＝(x－x2)， 即y＝·x－1＋ln x2， 则 消去x2得－x1－1＝0， 令φ(x)＝xex－ex－x－1，x∈R， φ′(x)＝xex－1， 令g(x)＝xex－1，x∈R. 则g′(x)＝(x＋1)ex， 当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0， 当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)>0， ∵φ′(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增， ∴φ′(x)min＝φ′(－1)＝－－1<0， 又当x<0时，φ′(x)<0， 且φ′(0)<0，φ′(1)＝e－1>0， ∃x0∈(0,1)，使φ′(x)＝0，即＝1， ∴当x∈(－∞，x0)时，φ′(x)<0， 当x∈(x0，＋∞)时，φ′(x)>0， ∴φ(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， ∴φ(x)min＝φ(x0)＝－x0－1 ＝－－x0<0， 且φ(－2)＝1－>0，φ(2)＝e2－3>0， ∴函数φ(x)有2个零点，即y＝ex与y＝ln x有2条公切线． 规律方法　运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况． 跟踪演练3　若a>，则函数y＝ax2与y＝ln x的公切线有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 答案　C 解析　设切线与曲线y＝ln x相切于点(t，ln t)， 对函数y＝ln x求导得y′＝， 所以曲线y＝ln x在点(t，ln t)处的切线方程为 y－ln t＝(x－t)