回归教材重难点04 立体几何-【查漏补缺】2023年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）

回归教材重难点04 立体几何 立体几何在高考中始终占据着重要地位，是高考历年来考察不变的考点，考试试卷位置也相对稳定，每年是一道大题，1-3道小题，分值高，考察难度多为中等题，是高考学生相对容易拿分的题型。考察空间线面的平行，垂直问题，考察空间角度，空间距离，几何体体积，空间几何体存在性问题，考察空间几何体探索性问题，考察几何体外接球，内切球，组合体的表面积体积等等。 立体几何涉及到点线面的位置关系，线线，线面，面面的平行关系，三种关系互相依存，还可以借助对应的判定定理与性质定理互相转化，其中线线平行与线面垂直是处理与判定几何体的关键突破点，在实际处理试题时，也要运用逆向思维来分析问题解决问题。 1. 几何体点线面的平行与垂直 2. 几何体表面积、体积的计算 3. 几何体点到面的距离 4. 几何体中异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的角度问题 5. 几何体的截面问题 6. 几何体的折叠与展开问题 7. 几何体的外接球问题 8. 几何体的内切球问题 9. 几何体的翻折问题 10. 几何体上动点的平行垂直动态问题 1平行关系的判定及性质定理： (1)线∥面的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． (简记为“线线平行⇒线面平行”) ∵l∥a，a⊂α，l⊄α ∴l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． (简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b ∴l∥b (2)面∥面的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． (简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α ∴α∥β 性质定理 两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行 (简记为“面面平行⇒线线平行”) ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ∴a∥b 注意：面面平行性质公理：两个平面平行，其中一个平面内的任意直线与另一个平面平行，(简记为“面面平行⇒线面平行”) 2．垂直关系的判定及性质定理： (1)线⊥面的判定定理及性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． (简记为“线线垂直⇒线面垂直”) ∵l⊥a，l⊥b，a、b⊂α，a∩b＝O ∴l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行． ∵a⊥α，b⊥α ∴a∥b (2)面⊥面的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． (简记为“线面垂直⇒面面垂直”) ∵l⊂β，l⊥α ∴α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (简记为“面面垂直⇒线面垂直”) ∵α⊥β，l⊂β，α∩β＝a，l⊥a ∴l⊥α 注意：线面垂直性质定理：一条直线垂直于一个平面，则垂直该平面内的任意直线，(简记为“线面垂直⇒线线垂直”) 3.空间向量与立体几何的求解公式： (1)异面直线成角：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ满足：cos θ＝； (2)线面成角：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为β， 则直线l与平面α所成的角为θ满足：sin θ＝|cos β|＝. (3)二面角：设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量， 则两面的成角θ满足：cos θ＝cos〈n1，n2〉＝； 注意：二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角或是向量n1与n2的夹角的补角，具体情况要判断确定． (4)点到平面的距离：如右图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量， 则点B到平面α的距离为：||＝，即向量在法向量n的方向上的投影长. 4.求截面方法： 1. 平行线法： （1）利用两条平行线确定一个平面， （2）一个平面与两个平行平面相交，交线平行 2. 相交线法： （1） 两条相交直线确定一个平面 （2） 若两个相交平面中一条直线与棱不平行，则与棱的交点，也在另一个平面内 5．几个与球有关的内切、外接常用结论： (1)正方体的棱长为a，球的半径为R，则： ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)长方体的长、宽、高分