第8章 平面向量【过知识】（课件）- 2022-2023学年高一数学单元复习过过过（沪教版2020必修第二册）

高一数学必修2 单元复习 第8章 平面向量 1 1 知识网络 2 知识梳理 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量;向量的大小叫作向量的长度(或模). 平面向量是自由向量. 零向量 长度为0的向量. 零向量记作,其方向是任意的. 单位向量 长度等于1个单位长度的向量. 非零向量a的单位向量为和. 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量. 与任意向量平行(共线). 相等向量 长度相等且方向相同的向量. 相等向量一定是平行向量,平行向量不一定是相等向量. 相反向量 长度相等且方向相反的两个向量. 若,互为相反向量,则=-. 的相反向量为. 2 知识梳理 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算. 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律:+=+. (2)结合律:(+)+=+(+). 减法 求与的相反向量-的和的运算叫作与的差. 三角形法则 -=+(-). 数乘 求实数λ与向量的积的运算. (1)|λ|=|λ|||. (2)当λ>0时,λ与的方向相同;当λ<0时,λ与的方向相反;当λ=0时,λ=0. (1)结合律:λ(μ)=λμ=μ(λ). (2)第一分配律:(λ+μ)=λ+μ. (3)第二分配律:λ(+)=λ+λ. 2 知识梳理 平面向量基本定理 1.定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数λ1,λ2,使=λ1+λ2. 2.基底:不共线的向量,叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 2 知识梳理 考平面向量的坐标运算 1.平面向量运算的坐标表示   坐标表示 和(差) 已知=(x1,y1),=(x2,y2),则+=(x1+x2,y1+y2), -=(x1-x2,y1-y2). 数乘 已知=(x1,y1),则λ=(λx1,λy1),其中λ是实数. 任一向量的坐标 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1). 2 知识梳理 说明 (1)相等向量的坐标相同;(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关,只与其相对位置有关. 2.平面向量共线的坐标表示 如果=(x1,y1),=(x2,y2),那么∥的充要条件为x1y2-x2y1=0. 注意 ∥的充要条件不能表示成,因为x2,y2有可能等于0. 2 知识梳理 定比分点 2 知识梳理 定比分点 (1)已知点P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2), 则点P的坐标为(,). (2)已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), 则△ABC的重心G的坐标为(,). 2 知识梳理 平面向量的数量积 1.向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量和,作=,=,则∠AOB就是向量与的夹角. 设θ是与的夹角,则θ的取值范围是[0,π]. θ=0或π⇔ ∥,θ=⇔ ⊥. 注意 研究向量的夹角时应注意“共起点”. 2 知识梳理 思维拓展 1.两个向量夹角的范围为[0,π],两条直线夹角的范围为[0,]. 2.(1)两个向量,的夹角为锐角⇔·>0且向量,不共线; (2)两个向量,的夹角为钝角⇔·<0且向量,不共线. 2 知识梳理 2.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量,的夹角为θ,则||||cos θ叫作向量与的数量积,记作·. 投影 ||cos θ叫作向量在向量方向上的投影, ||cos θ叫作向量在向量方向上的投影. 几何意义 数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cos θ的乘积. 2 知识梳理 3.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量=(x1,y1),=(x2,y2),与的夹角为θ.     几何表示 坐标表示 数量积 ·=||||cos θ. ·=x1x2+y1y2. 模 ||=. ||=. 夹角 cos θ=. cos θ=. 2 知识梳理 ⊥的充要条件 ·=0. x1x2+y1y2=0. ∥的充要条件 =λ(λ∈R). x1y2-x2y1=0. |·|与||||的关系 |·|≤||||(当且仅当∥ 时等号成立). |x1x2+y1y2|≤. 2 知识梳理 4.向量数量积的运算律 (1)·=·; (2)(λ)·=λ(·)=·(λ); (3)(+)·=·+·. 2 知识梳理 　 三角形的“四心”的向量表示 (1)O是△ABC的重心⇔=; (2)O是△ABC的垂心⇔···; (3)O是△ABC的外心⇔||=||=||(或); (4)O是△ABC的内心⇔ ·()=·()=·()=0. 考点突破