第9章 第9讲 抛物线(1)-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第9讲　抛物线(一) 课程标准：1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) P几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 1．抛物线y＝2x2的准线方程为(　　) A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－1 答案　A 解析　由y＝2x2，得x2＝y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－.故选A. 2．(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 答案　C 解析　设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|＝xA＋＝12，即9＋＝12，解得p＝6.故选C. 3．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是(　　) A．x＝－4 B．x＝4 C．y2＝8x D．y2＝16x 答案　D 解析　∵点M到F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，∴点M到F的距离和它到直线x＝－4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线，得点M的轨迹方程为y2＝16x. 4．(2022·清华附中模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，|PF|＝6，则点P的横坐标为(　　) A．6 B．5 C．4 D．2 答案　C 解析　设点P的横坐标为x0，抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2.∵点P在抛物线上，|PF|＝6，∴x0＋2＝6，∴x0＝4.故选C. 5．(2023·河北邯郸月考)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________. 答案　4 解析　如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4. 6．(2022·北京房山一模)抛物线C：x2＝8y的焦点为F，则点F的坐标为________，若抛物线上一点A到x轴的距离为2，则|AF|＝________. 答案　(0,2)　4 解析　由抛物线C：x2＝8y的方程可知p＝4，所以点F的坐标为(0,2)．因为该抛物线的准线方程为y＝－2，所以|AF|＝2－(－2)＝4. 考向一　抛物线的定义及标准方程 例1　(1)(多选)过点P(－2,3)的抛物线的标准方程可以是(　　) A．y2＝－x B．y2＝x C．x2＝－y D．x2＝y 答案　AD 解析　设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.故选AD. (2)(2021·北京高考)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________. 答案　5　4 解析　因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1,0)．因为|FM|＝6，所以xM＋＝6，解得xM＝5，故yM＝±2，所以S△FMN＝×(5－1)×2＝4. 　　抛物线标准方程的求法 求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程法．对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定，也就是说，不必设为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，这样能减少计算量；同理，焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)． 　1.动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案　D 解析　设动圆的圆心为C，半径为r，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆圆心