第4章 第4讲 第1课时 利用导数研究不等式的证明问题-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第4讲　导数与函数的综合应用 课程标准：1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．2．借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．3．能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系． 第1课时　利用导数研究不等式的证明问题 考向一　单变量不等式的证明 例1　(2022·福州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0． 解　(1)f′(x)＝－a(x＞0)， ①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②若a＞0，则当0＜x＜时，f′(x)＞0， 当x＞时，f′(x)＜0， 故f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)证法一：因为x＞0，所以只需证f(x)≤－2e． 当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以f(x)max＝f(1)＝－e． 记g(x)＝－2e(x＞0)， 则g′(x)＝， 所以当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减， 当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增， 所以g(x)min＝g(1)＝－e． 综上，当x＞0时，f(x)≤g(x)， 即f(x)≤－2e， 即xf(x)－ex＋2ex≤0． 证法二：要证xf(x)－ex＋2ex≤0， 即证exln x－ex2－ex＋2ex≤0， 从而等价于ln x－x＋2≤． 设函数g(x)＝ln x－x＋2， 则g′(x)＝－1． 所以当x∈(0,1)时，g′(x)＞0， 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0， 故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(1)＝1． 设函数h(x)＝， 则h′(x)＝． 所以当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0， 故h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 从而h(x)在(0，＋∞)上的最小值为h(1)＝1． 综上，当x＞0时，g(x)≤h(x)，即xf(x)－ex＋2ex≤0． 　　单变量不等式的证明方法 (1)移项法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)． (2)最值法：欲证f(x)＜g(x)，有时可以证明f(x)max＜g(x)min． 　1．设函数f(x)＝aex－x－1，a∈R． (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求证：当x∈(0，＋∞)时，＞e． 解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，f(0)＝e0－0－1＝0，即切点(0,0)． f′(x)＝ex－1，k＝f′(0)＝e0－1＝0，则切线方程为y＝0． (2)证明：当x∈(0，＋∞)时，＞e等价于ex－xe－1＞0， 设h(x)＝ex－xe－1，x∈(0，＋∞)，h′(x)＝e， 设k(x)＝e－x－1，x∈(0，＋∞)，k′(x)＝(e－1)＞0， 所以k(x)在(0，＋∞)上为增函数，即k(x)＞k(0)＝0， 所以h′(x)＝e＞0， 所以h(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以h(x)＞h(0)＝0，即＞e． 考向二　双变量不等式的证明 例2　(2023·海南中学高三月考)已知函数f(x)＝． (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)设m，n为两个不相等的正数，且mln n－nln m＝m－n，证明：mn＞e4． 解　(1)∵f′(x)＝＝， 当x∈(－∞，2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， ∴当x＝2时，f(x)取得极大值． 综上，f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，单调递减区间为(2，＋∞)，极大值为，无极小值． (2)证明：由(1)知，x→－∞时，f(x)→－∞，x→＋∞时，f(x)→0＋， ∴f(x)∈， 由mln n－nln m＝m－n得＝， 又f(ln m)＝＝，同理，f(ln n)＝， ∴ln m与ln n是f(x)＝t的两个正根，不妨设ln m＜ln n，易知1＜ln m＜2，ln n＞2，要证明mn＞e4， 只需证明ln m＋ln n＞4，即证ln m＞4－ln n， 当ln n≥3时，此式显然成立； 当2＜ln n＜3时，1＜4－ln n＜2， 又f(x)在(1,2)上单调递增， ∴只需证f(ln m)＝f(ln n)＞f(