第4章 第3讲 导数与函数的极值、最值-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第3讲　导数与函数的极值、最值 课程标准：1．借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系． 1．导数与函数的极值 (1)函数的极小值与极小值点 若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值与极大值点 若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 2．导数与函数的最值 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)上的极值． ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点． 3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值． 1．(2022·衡水模拟)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的是(　　) ①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x． A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 答案　B 解析　①y′＝3x2≥0恒成立，所以函数在R上单调递增，无极值点．②y′＝2x，当x＞0时，函数单调递增；当x＜0时，函数单调递减，且y′|x＝0＝0，②符合．③结合该函数图象可知函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，③符合．④y＝2x在R上单调递增，无极值点．故选B． 2．函数f(x)的导函数为f′(x)＝－x(x＋2)，则函数f(x)有 (　　) A．最小值f(0) B．最小值f(－2) C．极大值f(0) D．极大值f(－2) 答案　C 解析　令f′(x)＝－x(x＋2)＞0，解得－2＜x＜0，即函数f(x)的单调递增区间为(－2,0)，令f′(x)＝－x(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝0；令f′(x)＝－x(x＋2)＜0，解得x＞0或x＜－2，即函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)．所以函数f(x)有极大值f(0)．故选C． 3．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　) A．1－e B．－1 C．－e D．0 答案　B 解析　因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1．故选B． 4． (多选)已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是(　　) A．函数y＝f(x)在区间上单调递增 B．当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值 C．函数y＝f(x)在区间(－2,2)上单调递增 D．当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值 答案　BC 解析　对于A，函数y＝f(x)在区间上有增有减，故A不正确；对于B，当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值，故B正确；对于C，当x∈(－2,2)时，恒有f′(x)＞0，则函数y＝f(x)在区间(－2,2)上单调递增，故C正确；对于D，当x＝3时，f′(x)≠0，故D不正确． 5．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________． 答案　4 解析　f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)＜0，当x∈(2,3]时，f′(x)＞0，所以f(x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4． 6．(2022·重庆模拟)若函数f(x)＝ex＋ax在x＝2处取得极值，则a＝________． 答案　－e2 解析　∵f(x)＝ex＋ax在x＝2处取得极值，∴f′(2)＝e2＋a＝0，解得a＝－e2，经检验，符合题意． 多角度探究突破 考向一　导数与函数的极值 角度　　知图判断函数极值情况 例1　 (2023·重庆渝中区月考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)