第3章 第8讲 函数零点与方程-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第8讲　函数零点与方程 课程标准：1．结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系．2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路及其程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性． 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)三个等价关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 有关函数零点的结论 (1)若图象连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． (4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根． (5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)＜0，如图所示，所以f(a)f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 1．已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 136.136 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064 则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案　B 解析　依题意，f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)＜0，根据零点存在定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个． 2．(2022·天津南开中学模拟)函数y＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　) A． B．(1,2) C．(2，e) D．(e，＋∞) 答案　C 解析　y＝f(x)＝ln x－的定义域为(0，＋∞)，因为y＝ln x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝ln 1－2＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，f(e)＝ln e－＝1－＞0，所以f(2)f(e)＜0，所以f(x)在(2，e)上存在唯一的零点．故选C． 3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的零点是2，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是(　　) A．2 B．0和2 C．0 D．－2和0 答案　B 解析　由条件知f(2)＝0，∴b＝－2a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x－2)的零点为0和2．故选B． 4．(2022·海南第二次天一大联考)函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数即函数f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象交点的个数，作图容易判断，两图象有两个交点，故原函数有2个零点． 5．若函数f(x)＝3mx－4在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是__________． 答案　 解析　由已知得f(－2)f(0)＝(－6m－4)(－4)≤0，解得m≤－，故实数m的取值范围是． 6．若函数f(x)＝则函数y＝f(x)－1的零点是__________． 答案　0和 解析　要求函数y＝f(x)－1的零点，则令y＝f(x)－1＝0，即f(x)＝1，①当x≤0时，f(x)＝ex，由ex＝1，解得x＝0；②当x＞0时，f(x)＝x2－1，由x2－1＝1，解得x＝(负值舍去)．综上可知，函数y＝f(x)－1的零点是0和． 考向一　函数零点所在区间的判断 例1　(1)(多选)(2022·菏泽质检)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　) A．(－2，－1) B．(－