第3章 第3讲 函数的奇偶性与周期性-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第3讲　函数的奇偶性与周期性 课程标准：1．结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．2．了解周期性的概念和几何意义． 1．函数的奇偶性 奇函数 偶函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 图象 特点 关于原点对称 关于y轴对称 2．函数的周期性 (1)周期函数 设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 1．函数奇偶性的六个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0． (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量的值互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量的值也互为相反数． (6)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a≠0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a≠0)． 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称． 1．(2022·北京丰台区三模)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ln x B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝3－|x| 答案　B 解析　对于A，y＝ln x为非奇非偶函数，不满足题意；对于B，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于C，y＝－x2＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；对于D，y＝3－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意．故选B． 2．(2022·济南模拟)已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，根据这一特征，若f(x)是偶函数，则|f(x)|是偶函数，若f(x)是奇函数，|f(x)|也是偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的充分不必要条件．故选A． 3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B． C． D．－ 答案　B 解析　显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝，∴a＋b＝． 4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－x，则当x＜0时，f(x)的最大值为(　　) A．－ B．0 C． D．1 答案　C 解析　当x≥0时，f(x)＝x2－x＝2－，最小值为－，因为函数f(x)为奇函数，所以当x＜0时，函数f(x)的最大值为．故选C． 5．设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为__________． 答案　[－5，－2)∪(2,5] 解析　由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0．又f(x)是偶函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＞0；当－5≤x＜－2时，f(x)＜0．综上，不等式f(x)＜0的解集为[－5，－2)∪(2,5]． 6．(2023·山东威海月考)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2023)＝__________． 答案　－1 解析　因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T