第3章 第1讲 函数的概念及其表示-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第1讲　函数的概念及其表示 课程标准：1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．2．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．3．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．4．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 1．函数的定义 前提 设A，B是两个非空的实数集 对应关系 对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 2．函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 3．函数的三要素：定义域、对应关系和值域． 4．同一个函数：如果两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 5．函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 6．分段函数 若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 1．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 1．下列关于x，y的关系中，y是x的函数的是(　　) A．y＝＋ B．y2＝4x C．y＝ D． x 1 2 3 4 y 0 0 －6 11 答案　D 解析　对于A，由解得x∈∅，所以y不是x的函数；对于B，当x＞0时，有两个y与x对应，所以y不是x的函数；对于C，当x＝1时，有两个y与x对应，所以y不是x的函数，可改为y＝对于D，满足y是x的函数．故选D． 2．(多选)下列四组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．y＝x－1与y＝ B．y＝与y＝ C．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 D．y＝()3与y＝x 答案　CD 解析　对于A，y＝x－1与y＝＝|x－1|的对应关系不同，两函数不是同一个函数；对于B，y＝的定义域为[1，＋∞)，y＝的定义域为(1，＋∞)，定义域不同，两函数不是同一个函数；对于C，两个函数的定义域、对应关系都相同，是同一个函数；对于D，y＝()3＝x的定义域为R，y＝x的定义域为R，定义域、对应关系都相同，两函数是同一个函数．故选CD． 3．(2022·重庆高三月考)设函数f(x)＝则f(f(3))的值为__________． 答案　－7 解析　根据题意，函数f(x)＝ 则f(3)＝1－3＝－2，f(f(3))＝f(－2)＝－8＋1＝－7． 4．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是__________，值域是__________，其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是__________． (注：图中f(x)的图象与直线x＝3无限靠近但无公共点) 答案　[－3,0]∪(1,3)　(0，＋∞)　(0,1)∪(4，＋∞) 解析　求f(x)的定义域可看f(x)的图象上所有点的横坐标的取值构成的集合，易知为[－3,0]∪(1,3)；求f(x)的值域可看f(x)的图象上所有点的纵坐标的取值构成的集合，易知为(0，＋∞)；作直线y＝m，可知当m∈(0,1)∪(4，＋∞)时，直线y＝m与f(x)的图象有唯一公共点，所以只有唯一的x值与之对应的y值的范围是(0,1)∪(4，＋∞)． 5．(2022·合肥质检)若f(2x)＝4x－2x，则f(x)＝__________． 答案　x2－x，x＞0 解析　由题意，f(2x)＝4x－2x＝(2x)2－2x，设t＝2x＞0，则f(t)＝t2－t，t＞0，所以f(x)＝x2－x，x＞0． 考向一　函数的概念 例1　(1)下列所给图象是函数图象的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　①中，当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；②中，当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；③④中，每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．故选B． (2)以下三个函数是否表示同一个函数？为什么？ f1：y＝ f2： x x≤1 1＜x＜2 x≥2 y 1 2 3 f3： 解　是同一个函数．x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一个函数的不同表示方法． 　　函数的含义及判断两个函数相同的方法 (1)函数的含义 ①A，B是非空的实数集． ②函数