第4章 第4讲 第3课时 利用导数研究函数的零点问题-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案课件PPT（新教材，提升版）

第4讲　导数与函数的综合应用 第四章　导数及其应用 第3课时　利用导数研究函数 的零点问题 核心考向突破 课时作业 1 核心考向突破 PART ONE 核心考向突破 课时作业 例1　(2022·新高考Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ex－x，g(x)＝x－ln x． (1)判断直线y＝b与曲线y＝f(x)和y＝g(x)的交点分别有几个； (2)证明：曲线y＝f(x)和y＝g(x)有且只有一个公共点； (3)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 考向一　判断函数零点或方程根的个数问题 核心考向突破 课时作业 解 解　(1)设S(x)＝ex－x－b，S′(x)＝ex－1， 当x＜0时，S′(x)＜0，当x＞0时，S′(x)＞0， 故S(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数， 所以S(x)min＝S(0)＝1－b． 当b＜1时，S(x)min＝1－b＞0，S(x)无零点； 当b＝1时，S(x)min＝1－b＝0，S(x)有1个零点； 当b＞1时，S(x)min＝1－b＜0， 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 当0＜x＜1时，T′(x)＜0，当x＞1时，T′(x)＞0， 故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数， 所以T(x)min＝T(1)＝1－b． 当b＜1时，T(x)min＝1－b＞0，T(x)无零点； 当b＝1时，T(x)min＝1－b＝0，T(x)有1个零点； 当b＞1时，T(x)min＝1－b＜0， 而T(e－b)＝e－b＞0，T(eb)＝eb－2b＞0， 所以T(x)＝x－ln x－b有两个不同的零点． 核心考向突破 课时作业 解 综上可知，当b＜1时，直线y＝b与曲线y＝f(x)和y＝g(x)的交点个数都是0； 当b＝1时，直线y＝b与曲线y＝f(x)和y＝g(x)的交点个数都是1； 当b＞1时，直线y＝b与曲线y＝f(x)和y＝g(x)的交点个数都是2． 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 (3)证明：由(2)知，若存在直线y＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)有三个不同的交点， 则b＝f(x0)＝g(x0)＞1， 此时ex－x＝b有两个不同的解x1，x0(x1＜0＜x0)，x－ln x＝b有两个不同的解x0，x2(0＜x0＜1＜x2)， 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 　　　　利用导数确定函数零点或方程根的个数的常用方法 (1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义域区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数． (2)利用函数零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 考向二　由函数零点个数求解参数取值范围问题 解 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 　　　　根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”． 核心考向突破 课时作业 解 解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1， 令f′(x)＜0，解得x＜0，令f′(x)＞0，解得x＞0， 所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)． 　　　　2．(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)． (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． 核心考向突破 课时作业 解 (2)解法一：当a≤0时，f′(x)＝ex－a＞0恒成立，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a， 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 所以f(x)的极小值也是最小值为f(ln a)＝a－a(ln a＋2)＝－a(1＋ln a)． 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业